Binomialverteilung: Beispiel mit Karten

Question

Aufgabe:

Aus einem Stapel von 52 Karten werden 5 Karten mit zurücklegen gezogen.

Was ist die Wahrscheinlichkeit 3 Kreuz-Karten zu ziehen?(Jede vierte Karte ist ein Kreuz, jede vierte Karte ist ein Karo...)

Problem/Ansatz:

Wir sollten das mit der Binomialverteilungs Formel berechnen P(X=3)= (5 über 3)*(1/4)^3*(3/4)^2=0,087

Aber wenn ich das ohne die Formel der Binomial-Verteilung berechnen wollen würde, würde ich ja P(3 Kreuz-Karten)=1/4*1/4*1/4*3/4*3/4= 9/1024 erhalten was nicht das Gleiche wie das Ergebnis mit der Formel der Binomial-Verteilung ist.

Kann mir jemand Helfen und mir zeigen wie ich das Ohne die Formel der Binomialverteilung machen würde?

Answer 1

P(3 Kreuz-Karten)=1/4*1/4*1/4*3/4*3/4

Und 3/4*3/4*1/4*1/4*1/4 oder 3/4*1/4*1/4*1/4*3/4 sind keine Optionen?

Es gibt 5 über 3 = 10 Möglichkeiten. Diese berücksichtigt die Binomialvtl., während du nur einen der 10 Wege (bildlich in einem Baumdiagramm) gehst.

Answer 2

Du musst alle möglichen Reihenfolgen berücksichtigen = (5über3).

Answer 3

P = 1/4 * 1/4 * 1/4 * 3/4 * 3/4

Das Ereignis wäre hier gemäß Pfadregel nur die ersten 3 gezogenen Karten sind Kreuz-Karten.

Es ist aber egal an welchen Stellen die Kreuz-Karten auftreten, solange es insgesamt 3 sind.

Übrigens wurde hier schon in der Aufgabenstellung ein Fehler gemacht.

Was ist die Wahrscheinlichkeit 3 Kreuz-Karten zu ziehen? (Jede vierte Karte ist ein Kreuz, jede vierte Karte ist ein Karo...)

Genauer sollte dort eben stehen "genau 3 Kreuz-Karten zu ziehen". Das Problem ist wenn ich 4 oder 5 Kreuz-Karten ziehe habe ich auch 3 gezogen.

Fragt dich deine Mutter also ob du ein Bonbon genascht hast und du sagst Nein, weil es ja 5 waren, dann lügst du. Weil wenn du 5 genascht hast eben auch einen genascht hast. Und dann noch einen und noch einen ;)

Wenn man also exakt ist müsste man rechnen

P(X ≥ 3) = (5 über 3)·0.25^3·0.75^2 + (5 über 4)·0.25^4·0.75^1 + (5 über 5)·0.25^5·0.75^0 = 53/512 = 0.1035