Fläche, die von Graph f und g eingeschlossen wird: Was soll ich als Intervallgrenzen nehmen?

Question

Berechne die Fläche, die von den beiden graphen der funktion f und g eingeschlossen wird.

f(x)= x³ + x² - 3x; g(x) = 3x

habe die schnittpunkte berechnet. x1= -3; x2= 0; x3= 2

soll ich dann beim Integral einfach untere Intervallgrenze -3 und obere -2 und das alles ausrechnen (geht das überhaupt?) oder muss ich IMMER die Intervalle aufteilen, also von -3 bis 0 und 0 bis 2? als ich das so gemacht habe, habe ich unterschiedliche endergebnisse rausbekommen weil : A1 + A2 und A2 war ein negativer Wert. rechnet man mit den negativen wert als A2 weiter, so kommt am ende das gleiche ergebnis wie bei der vorherigen methode mit. nimmt man A2 als Betrag (wie es mir beigebracht worden ist, da es ja keine negative fläche gibt), kommt das doppelte raus. hilfe!!!

Answer 1

Berechne die Fläche, die von den beiden Graphen der funktion f und g eingeschlossen wird.

f(x) = x^3 + x^2 - 3·x ; g(x) = 3·x

d(x) = f(x) - g(x) = x^3 + x^2 - 6·x = 0 → x = -3 ∨ x = 0 ∨ x = 2

D(x) = 1/4·x^4 + 1/3·x^3 - 3·x^2

A1 = ∫ (-3 bis 0) d(x) dx = D(0) - D(-3) = 0 - (- 63/4) = 63/4

A2 = ∫ (0 bis 2) d(x) dx = D(2) - D(0) = - 16/3 - 0 = - 16/3

A = |A1| + |A2| = 63/4 + 16/3 = 253/12 = 21.08

Comments

Da stimmt was nicht. Wenn man Intervall von -3 bis 2 macht kommt ein anderes Ergebnis raus! Warum darf man das nicht machen?

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Weil du dann eine Flächenbilanz bekommst.

Wenn du von -3 bis 2 integrierst nimmst er nicht die Beträge sondern rechnet

A1 + A2 = 63/4 + (- 16/3)

Die zweite Fläche wird also negativ gewertet und abgezogen. Bei der Frage nach der Fläche müssen allerdings alle Flächen positiv gewertet werden.

Answer 2

Du rechnest immer von Schnittpunkt zu Schnittpunkt aus.
Da eine Fläche in der Natur immer einen positiven
Wert hat setzt du deine Ergebnisse immer positiv
a1 = 63/4
a2 = -16/3

a = | 63/4 | + | -16/3 |

Comments

Das heißt, dass wenn ich eine Aufgabe zur Flächenberechnung zwischen zwei Graphen habe, ich 3 Schnittpunkte habe, von Schnittpunkt zu Schnittpunkt rechnen muss, also wie oben erstmal -3 bis 0 und 0 bis 2? Wie sieht es aber aus wenn man nur 1 oder 2 Schnittpunkte hat, und wenn diese 2 Schnittpunkte zwischen so liegen: -5 und 4. Muss man die dann nicht aufteilen? LG

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Wenn du nur 1 Schnittpunkt hast entsteht keine
Fläche.
Wenn du 2 Schnittpunkte hast dann das Intervall
-5 .. 4 berechnen.

Ablauf
Schnittpunkte berechnen
Differenzfunktion bilden
Stammfunktion der Differenzfunktion aufstellen
Intervall zwschen den Schnittpunkten als Fläche
berechnen
positiv setzen