Infimum, Supremum, Maximum und Minimum in N bestimmen?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Der Professor will, dass ich den supremum, infimum, Maximum und Minimum rechne soweit sie existieren. Aber ich glaube keines von denen existiert in diesem Fall, weil das keine natürliche Zahlen sind sondern Reelle.?

Comments

Das Produkt von (-1)ⁿ und (-1) ist NICHT 1.

Du hast einen zweiten Versuch.

Und bevor du andere bemühst:

Berechne doch erst mal selbst die Werte für

n=1

n=2

n=3

n=4

sowie z.B für n=999 und n=1000. Dann siehst du klarer.

---

Abgesehen von deiner falschen Umformung hat du auch die Voraussetzung n∈N völlig ignoriert und zeichnest Funktionswerte für alle möglichen positiven und negativen reellen Zahlen.

Eine zeichnerische Darstellung müsste so aussehen:

---

Vielleicht Hilft eine bessere Zeichnung zur Ideenfindung

Answer 1

Hallo Sissi,

n∈ℕ  bedeutet, dass nur natürliche Zahlen  1,2,3 ...   eingesetzt werden.

Der Faktor  (-1)ⁿ  ergibt 1 für gerade n  bzw. -1 für ungerade n.

Wenn du jetzt für gerade n nur den Term   \(\color{blue}{\dfrac{2}{n^2}-1}\) betrachtest, solltest du erkennen, dass sich für n=2 der Wert  -1/2  ergibt und die Werte des Terms - wenn n immer größer wird - sich immer mehr dem Wert -1 "von oben" beliebig weit annähern, ihn aber nie erreichen (der Term ist streng monoton fallend und hat den Grenzwert -1).

Für ungerade n ergibt sich für  n=1 der Wert -1 und der Term  \(\color{green}{(-1)·(\dfrac{2}{n^2}-1)}\) ist streng monoton wachsend und hat den Grenzwert 1

Besser als mit dem Graph von Mathecoach kann man das wohl kaum deutlich machen! 

--------

Nachtrag:

-1 ist der kleinste Folgenwert und ist deshalb das Minimum ( = Infimum)

1 ist die kleinste obere Schranke der Folgenglieder, kommt aber in der Folge nicht vor. 1 ist also das Supremum, ein Maximum gibt es nicht.

Gruß Wolfgang

Comments

Danke vielmals :))

---

immer wieder gern :-)