Ich gehe im Folgenden von 0 ∈ ℕ aus, andernfalls ergeben sich andere Werte:
a) "Bestimmen Sie für die Menge W := { ( - 2/3)^n + 3/m l n, m ∈ ℕ } Supremum und Infimum.
Entscheiden Sie, ob es sich dabei um ein Maximum bzw. ein Minimum handelt."
Es ist W = A ∪ B für
A := { ( - 2/3)^n + 3/m l n, m ∈ ℕ, n ungerade },
B := { ( - 2/3)^n + 3/m l n, m ∈ ℕ, n gerade }.
Weiter ist offenbar
inf(A) = -2/3 und sup(A) = 3 sowie
inf(B) = 0 und sup(B) = max(B) = 4 und es folgt
inf(W) = -2/3 und sup(W) = max(W) = 4.
b) "Bestimmen Sie für die Menge X := { √(n+1) - √(n) l n ∈ ℕ } Supremum und Infimum.
Entscheiden Sie, ob es sich dabei um ein Maximum bzw. ein Minimum handelt."
Wegen X = { 1 / (√(n+1) + √(n)) l n ∈ ℕ } (vgl. Hinweis) ist
X(n) eine beschränkte, streng monoton fallende Nullfolge, also folgt
inf(X) = 0 und sup(X) = max(X) = 1.
