Supremum und Infimum bestimmen für (-2/3)^n + 3/m und für √(n+1) - √(n) (Maximum/Minimum)

Question

Bestimmen Sie für die Mengen  

a)    { ( - 2/3)^n + 3/m l n,m ∈ N  

b) X:= {√(n+1) - √(n)  l n∈N

Supremum und Infimum.

Entscheiden Sie, ob es sich dabei um ein Maximum bzw. ein Minimum handelt.

Hinweis: Es ist bei der Menge X aus (b) nützlich √(n+1) - √(n) so zu erweitern , dass man die formel

(a+b) (a-b) = a^2 - b^2 für alle a,b ∈ R anwenden kann.

Answer 1

Ich gehe im Folgenden von 0 ∈ ℕ aus, andernfalls ergeben sich andere Werte:

a) "Bestimmen Sie für die Menge W  :=  { ( - 2/3)^n + 3/m  l  n, m ∈ ℕ } Supremum und Infimum.
Entscheiden Sie, ob es sich dabei um ein Maximum bzw. ein Minimum handelt."

Es ist W = A ∪ B für
A  :=  { ( - 2/3)^n + 3/m  l  n, m ∈ ℕ, n ungerade },
B  :=  { ( - 2/3)^n + 3/m  l  n, m ∈ ℕ, n gerade }.

Weiter ist offenbar
inf(A) = -2/3 und sup(A) = 3 sowie
inf(B) = 0 und sup(B) = max(B) = 4 und es folgt

inf(W) = -2/3 und sup(W) = max(W) = 4.

 

b) "Bestimmen Sie für die Menge X  :=  { √(n+1) - √(n)  l  n ∈ ℕ } Supremum und Infimum.
Entscheiden Sie, ob es sich dabei um ein Maximum bzw. ein Minimum handelt."

Wegen X  =  { 1 / (√(n+1) + √(n))  l  n ∈ ℕ } (vgl. Hinweis) ist
X(n) eine beschränkte, streng monoton fallende Nullfolge, also folgt

inf(X) = 0 und sup(X) = max(X) = 1.