Die Hyperbel läßt sich ermitteln über:
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
Weil wir Rotationsintegrale nur über die x-Achse rotieren können bilden wir hier die Umkehrfunktion
x = √(y^2 + b^2)·(a/b) | x und y vertauschen
y = √(x^2 + b^2)·(a/b)
Will ich jetzt das Volumen von -h bis h haben kann ich das Rotationsintegral rechnen
V = 2 * ∫ 0 bis h (pi·(√(x^2 + b^2)·(a/b))^2) dx
V = 2 * ∫ 0 bis h (pi·a^2·(x^2 + b^2)/b^2) dx
V = 2 * [pi·a^2·x^3/(3·b^2) + pi·a^2·x] 0 bis h
V = 2 * ((pi·a^2·h^3/(3·b^2) + pi·a^2·h) - (0))
V = 2·pi·a^2·h^3/(3·b^2) + 2·pi·a^2·h
Setzte ich hier a und b ein erhalte ich
V = 2·pi·5^2·h^3/(3·7^2) + 2·pi·5^2·h
V = 50·pi·h^3/147 + 50·pi·h
Ich nehme also einen liegenden Hyperboloid