Geben Sie eine Funktion f(z) an, deren Graph um die z-Achse rotiert das Hyperboloid beschreibt. Rotationskörper.

Question

Aufgabe:

Ein einschaliges Hyperboloid sei durch die Gleichung \( x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0 \) gegeben.

a) Geben Sie eine Funktion \( f(z) \) an, deren Graph um die \( z \)-Achse rotiert das Hyperboloid beschreibt.

b) Berechnen Sie das Volumen des Hyperboloid-Abschnitts für \( z=[-1,1] \).

Answer 1

x^2 + y^2 - z^2 - 1 = 0

Ich mache einen Querschnitt in der x-z-Ebene damit ist y = 0

x^2 - z^2 - 1 = 0

x = √(1 + z^2)

f(z) = √(1 + z^2)

r(z) = pi·(1 + z^2)

R(z) = pi·z^3/3 + pi·z

R(1) - R(-1) = 4/3·pi - (- 4/3·pi) = 8/3·pi

Comments

ich habe sehr ähnliche Frage:

Ich soll für x^2+y^2-z^2-3=0 eine Funktion angeben, deren Graph um die z-Achse rotiert das Hyperboloid beschreibt. Und das Volumen des Hyperboloid-Abschnitts für z=[-3,3] berechnen.

ich habe die Berechnung leider nicht ganz verstanden?

Können Sie bitte die Berechnung erläutern?

Gruß

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Was verstehst du denn nicht. Gehe die Schritte schrittweise durch und sag mal womit du Probleme hast.

Ist die Lösung deines Volumens 36*pi ?

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ja jetzt habe ich verstanden danke, ich habe auch die Lösung 36pi.