Hyperboloid Volumen berechnen

Question

Ein (einschaliges Dreh-) Hyperboloid entsteht entweder durch Verdrehen von geneigten Geraden oder durch Rotation einer Hyperbel um ihre Nebenachse.

Fertige eine Skizze der Hyperbel an (a=5, b= 7) und berechne die Volumsformel eines solchen Hyperboloids.

Anm.: Die dünnste Stelle des Hyperboloids ist symmetrisch zu den Deckflächen; Das Volumen hängt also von den Parametern a, b und h ab.

 

Wie kann ich hier in die Volumsformel den Parameter h integrieren?

Answer 1

Die Hyperbel läßt sich ermitteln über:

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

Weil wir Rotationsintegrale nur über die x-Achse rotieren können bilden wir hier die Umkehrfunktion

x = √(y^2 + b^2)·(a/b) | x und y vertauschen

y = √(x^2 + b^2)·(a/b)

Will ich jetzt das Volumen von -h bis h haben kann ich das Rotationsintegral rechnen

V = 2 * ∫ _{0 bis h} (pi·(√(x^2 + b^2)·(a/b))^2) dx
V = 2 * ∫ _{0 bis h} (pi·a^2·(x^2 + b^2)/b^2) dx
V = 2 * [pi·a^2·x^3/(3·b^2) + pi·a^2·x] 0 bis h
V = 2 * ((pi·a^2·h^3/(3·b^2) + pi·a^2·h) - (0))
V = 2·pi·a^2·h^3/(3·b^2) + 2·pi·a^2·h

Setzte ich hier a und b ein erhalte ich

V = 2·pi·5^2·h^3/(3·7^2) + 2·pi·5^2·h
V = 50·pi·h^3/147 + 50·pi·h

Ich nehme also einen liegenden Hyperboloid