Aloha :)
Das Integral einer Potenz \(x^n\) ist gleich \(\frac{1}{n+1}x^{n+1}\). Diese Regel kannst du bei \(f(x)=-\frac{1}{x}=-x^{-1}\) nicht anwenden, da du durch \(0\) dividieren würdest: \(-\frac{1}{0}x^0\). Du kannst dir aber zunutze machen, dass die Exponentialfunktion \(e^x\) die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion \(\ln(x)\) ist. Für \(x>0\) gilt daher:
$$\left.e^{\ln(x)}=x\quad\right|\;\text{Die e-Funktion hebt die Wirkung der ln-Funktion auf.}$$$$\left.\left(e^{\ln(x)}\right)'=\left(x\right)'\quad\right|\;\text{Beide Seiten ableiten}$$$$\left.e^{\ln(x)}\cdot\ln'(x)=1\quad\right|\;\text{Links hilft die Kettenregel, "äußere mal innere"}$$$$\left.x\cdot\ln'(x)=1\quad\right|\;e^{\ln(x)}=x$$$$\ln'(x)=\frac{1}{x}$$Für \(x<0\) kannst du dieselbe Rechnung mit \(-x\) anstelle von \(x\) wiederhoen (weil die \(\ln\)-Funktion nur für positive Argumente definiert ist) und findest dann: \(\ln'(-x)=\frac{1}{x}\). Nach dem Hauptsatz der Differenital- und Integralrechnung gilt damit:
$$\int-\frac{1}{x}\,dx=-\ln\left|x\right|+\text{const}\quad;\quad x\ne0$$Daher ist:
$$F(x)=-\ln|x|+C$$$$0=F(e)=-\ln|e|+C=-1+C\quad\Rightarrow\quad C=1\quad\Rightarrow\quad F(x)=1-\ln|x|$$
