Stammfunktionen mit Bedingungen

Question

Aufgabe: Geben Sie zu f eine Stammfunktion F an, die die angegebene Bedingung erfüllt

f(x) = -1/x ; F(e) =0

F(x) = _________ + C

0 = F(e) = __________ + C (-> C=_____ -> F(x) = _______)

Problem/Ansatz: Ich habe diese Übung zu Stammfunktionen gefunden, allerdings bin ich sehr verwirrt mit den Lücken und weiß somit nicht, wie ich vorgehen soll. Könnte mir jemand helfen, dieses Problem zu lösen?

Answer 1

F(x)= -ln|x| +C

0= -ln|e|+C

0= -1+C

C=1

F(x)= -ln|x| +1

Answer 2

F(x) = -ln|x| +C

TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

Answer 3

Hallo

 du kennst doch sicher die Stammmfkt von 1/x, damit auch die von -1/x

 dann setze e ein und du solltest C=1 rausfinden.

Gruß lul

Answer 4

Das könnte also wie folgt aussehen:

f(x) = -1/x ; F(e) =0

F(x) = _-ln(x)_ + C

0 = F(e) = _-ln(e)_ + C (-> C=_1_ -> F(x) = _-ln(x) + 1_)

Answer 5

Aloha :)

Das Integral einer Potenz \(x^n\) ist gleich \(\frac{1}{n+1}x^{n+1}\). Diese Regel kannst du bei \(f(x)=-\frac{1}{x}=-x^{-1}\) nicht anwenden, da du durch \(0\) dividieren würdest: \(-\frac{1}{0}x^0\). Du kannst dir aber zunutze machen, dass die Exponentialfunktion \(e^x\) die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion \(\ln(x)\) ist. Für \(x>0\) gilt daher:

$$\left.e^{\ln(x)}=x\quad\right|\;\text{Die e-Funktion hebt die Wirkung der ln-Funktion auf.}$$$$\left.\left(e^{\ln(x)}\right)'=\left(x\right)'\quad\right|\;\text{Beide Seiten ableiten}$$$$\left.e^{\ln(x)}\cdot\ln'(x)=1\quad\right|\;\text{Links hilft die Kettenregel, "äußere mal innere"}$$$$\left.x\cdot\ln'(x)=1\quad\right|\;e^{\ln(x)}=x$$$$\ln'(x)=\frac{1}{x}$$Für \(x<0\) kannst du dieselbe Rechnung mit \(-x\) anstelle von \(x\) wiederhoen (weil die \(\ln\)-Funktion nur für positive Argumente definiert ist) und findest dann: \(\ln'(-x)=\frac{1}{x}\). Nach dem Hauptsatz der Differenital- und Integralrechnung gilt damit:

$$\int-\frac{1}{x}\,dx=-\ln\left|x\right|+\text{const}\quad;\quad x\ne0$$Daher ist:

$$F(x)=-\ln|x|+C$$$$0=F(e)=-\ln|e|+C=-1+C\quad\Rightarrow\quad C=1\quad\Rightarrow\quad F(x)=1-\ln|x|$$