Ableiten von f(x)= 3 • ln(x)?

Question

Verständnisfrage

wie bildet man die erste Ableitung von f(x)= 3 • ln(x)?

p.s kommt bitte nicht mit " nutze den Ableitungstaschenrechner" an .Ich will es verstehen und nicht nur die Lösung haben ,Danke

Comments

Willst du das direkt aus der Definition der Ableitung herleiten? 

Wenn nicht: Welche Ableitungsregeln kennst du schon?

Answer 1

f(x)= 3 • ln(x)

Der Faktor 3 bleibt stehen und aus ln(x) wird 1/x,

also  f ' (x) = 3 • 1/x  =   3/x oder auch 3*x^(-1) .

Answer 2

Der Ableitungsrechner zeigt dir auch die Lösungsschritte an.

Vorfaktor 3 vor die Ableitung ziehen: d/dx [3 ln(x)] = 3 d/dx [ln(x)] = 3 * (1/x) = 3/x

Answer 3

Da du es verstehen willst schreib ich mit Absicht nicht die Lösung hin, da du sie selber mit den folgenden Schritten herausfinden wirst ;D

Bei Funktionen die wie folgt aussehen: f(x) = n • log_ax, gilt

f'(x) = n • \( \frac{1}{x • ln(a)} \)

und da ln(x) = log_ex ist und e in dem Fall die Variable a ist, ist die Ableitung von n • ln(x)

= n • \( \frac{1}{x • ln(e)} \)

= n • \( \frac{1}{x} \) , da ln(e) = 1 bzw. e¹  = e ist

Comments

Und warum gilt das, was du voraussetzt?

Das Problem ist, wie kommt man auf die Ableitung von 1/x ohne Voraussetzungen.

Das ist sehr kompliziert:

https://matheguru.com/differentialrechnung/beweis-fur-die-ableitung-des-naturlichen-logarithmus.html

Answer 4

wie bildet man die erste Ableitung von f(x)= 3 • ln(x)?

Oder du merkst dir nur
[ ln (term ) ] ´ = ( term ´ ) / term
[ ln ( x ) ] ´ = x ´ / x = 1 / x

Die 3 ist eine Konstante die bestehen bleibt

f(x)= 3 • ln(x)
f ´( x ) = 3 * 1/x = 3 / x

Comments

Hier zur Abschreckung

Answer 5

Setzen wir einmal voraus, dass die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion wieder die natürliche Exponentialfunktion ist, und dass weiter die Kettenregel bekannt ist, so können wir die Gleichung zunächst etwas umformen und erhalten $$y=3\cdot\ln(x)$$kann bereits vor dem Ableiten umgeschrieben werden zu $$y=\ln(x^3)$$und weiter zu $$\text{e}^y=x^3.$$ Diese Gleichung können wir dann ableiten und erhalten $$y'\cdot\text{e}^y=3\cdot x^2$$ und weiter $$y'=\dfrac{3\cdot x^2}{\text{e}^y}.$$ Mit \(\text{e}^y=x^3\) (Gleichung 3) ist das schließlich $$y'=\dfrac{3\cdot x^2}{x^3}=\dfrac{3}{x}.$$ (Je nach den verwendbaren Voraussetzungen gibt es sicher noch einige mögliche Wege, die Ableitung zu bilden.)