Ist eine positive Zahl irrational, dann ist auch ihre Quadratwurzel irrational. Stimmt diese Aussage?

Question

Hallo ich bin auf eine sehr komplizierte frage gestoßen (damit mein ich ich hab sie auf der Kurzabfrage unserer Parallelklasse entdeckt ;)  

sie lautet :

Ist eine positive Zahl irrational , dann ist auch ihre Quadratwurzel irrational.

Beweise diesen Satz !

 

Hilfe wäre hilfreich

Answer 1

Wir nehmen mal an die Quadratwurzel einer irrationalen Zahl wäre eine rationale Zahl.

Dann brauch ich nur die rationale Zahl quadrieren und erhalte eine irrationale Zahl.

Da das sicher nicht stimmt muss die Annahme, dass die Quadratwurzel einer irrational Zahl rational ist falsch sein. Fazit. Die Quadratwurzel einer irrationalen Zahl ist wieder irrational.

Comments

Sehr schön, Beweis durch Widerspruch!

Kleine Ergänzung zur Veranschaulichung, √x sei irrational:

√√x = a/b    (a/b als Darstellung der rationalen Zahl)

Äquivalenzumformung, also Quadrieren:

√√x = a/b     | ()²

√x = a²/b²

Wir sehen, √x wäre jetzt rational, da die Zahl als a²/b² darstellbar ist.
Wir sagten jedoch, √x ist irrational!