Winkel von einem Dreieck ausrechnen mithilfe von 3 Punkten

Question

Aufgabe:

Berechne die Winkel des Dreiecks ABC

A (-4/2/6)

B (-3/6/0)

C (0/-2/-1)

Problem/Ansatz:

Ich habe es ausgerechnet, nur stimmt mein Resultat nicht mit den Lösungen überein

Meine Lösungen: 62,75° ; 111,55° ; 5,7

Lösungen vom Buch: 62,75 ; 68,45 ; 48,80

Answer 1

Den Winkel \(\alpha\) rechnet man aus mittels

   \(\cos \alpha = \frac{\vec{AB} * \vec{AC}}{|\vec{AB}|\cdot |\vec{AC}|}\).

Insbesondere musst du darauf achten, dass du nicht \(\vec{BA}\) und nicht \(\vec{CA}\) verwendest.

Analog dazu ist

  \(\cos \gamma = \frac{\vec{CA} * \vec{CB}}{|\vec{CA}|\cdot |\vec{CB}|}\).

Hier musst du darauf achten, dass du nicht \(\vec{AC}\) und nicht \(\vec{BC}\) verwendest.

Answer 2

Hallo Haandaan,

die Lösungen im Buch sind korrekt. Und 5,7° für einen der Winkel kann nicht stimmen, wenn man ein Blick auf das Dreieck wirft

(klick auf das Bild)

Gruß Werner

Comments

... für die drei Seitenvektoren habe ich $$\vec{BC} = \begin{pmatrix} 3\\ -8\\ -1 \end{pmatrix}, \quad \vec{CA} = \begin{pmatrix} -4\\ 4\\ 7 \end{pmatrix}, \quad \vec{AB} = \begin{pmatrix} 1\\ 4\\ -6\end{pmatrix}$$

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Ich vermute, dass Du einen der Vektoren in der falschen Richtung angenommen hast. Denn \(68,45° = 180° - 111,55°\). Du hast also den Nebenwinkel von einem der Innenwinkel im Dreieck berechnet.

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Mit welchem Programm hast du die Abbildung erzeugt?

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Mit welchem Programm hast du die Abbildung erzeugt?

Mit Geoknecht 3D (s. am rechten Rand dieser Website) - klick einfach auf das Bild. Und anschließend den Bildschirm kopiert und mit Windows Paint zurecht geschnitten.

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Mit Geoknecht 3D (s. am rechten Rand dieser Website) - klick einfach auf das Bild. Und anschließend den Bildschirm kopiert und mit Windows Paint zurecht geschnitten.

Vielen Dank !

Answer 3

nehmen wir den Winkel Alpha.

Zuerst werden die Vektoren AB und AC bestimmt.

$$\vec{AB}=\begin{pmatrix} 1\\4\\-6 \end{pmatrix}$$

und

$$\vec{AC}=\begin{pmatrix} 4\\-4\\-7 \end{pmatrix}$$

$$cos \alpha=\frac{\vec{AB•\vec{AC}}}{|\vec{AB|\cdot|\vec{AC}}}$$

Dann berechnest du das Skalarprodukt (Zähler), das Produkt der Längen der beiden Vektoren und setzt anschließend das Ergebnis mit cos ^-1 gleich. (Alpha = 62,75°)

So verfährst du noch mit einem zweiten Winkel. Zur Berechnung des dritten Winkels berechnest du 180 - Alpha - Beta/Gamma.

Gruß, Silvia