V sei ein Vektorraum über einem Körper K

Question

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K.


Es ist zu zeigen: ∀λ ∈ K ∀λ∈ V : λa = 0 => (λ = 0 v a = 0)


Hätte hier jemand einen Ansatz für mich?

Answer 1

gilt die Aussage

\( \forall \lambda \in K\ \forall a \in V : av = 0 \Rightarrow a = 0 \lor v = 0 \),

so heißt diese Aussage auch komponentenweise für \( v \):

\( av_i = 0 \Rightarrow a = 0 \lor v_i = 0 \).

Da \( K \) ein Körper ist, gibt es in \( K \) keine Nullteiler. Mit anderen Worten ist

\(  a \neq 0 \land v_i \neq 0  \Rightarrow a v_i \neq 0\).

Die Umkehrung dieser Aussage ist die gesuchte Behauptung.

MfG

Mister