Sei V ein Vektorraum über K. Zeige dass gilt:

Question

EDIT(Kopie aus Kommentar Nr. 8):

Hier ist die RICHTIGE Angabe!!!  

Sei V ein Vektorraum über K. Seien x₁, x₂, ... x_n ∈ V und λ₁, λ₂, ... λ_n , λ ∈ K. Zeige:  

(i) λ * (x₁ + x₂ +... + x_n) =λx₁ + .... + λx_n  
(ii) λ * (λ₁x₁ + λ₂x₂ + ... + λ_nx_n) = (λλ₁)x₁ +  ... + (λλ_n)x_n 

Erste Version: 

Sei V ein Vektorraum über K. Seien x₁, x₂, ... x_n ∈ V und λ₁, λ₂, ... λ_n ∈ K. Zeige:

(i) λ * (x₁, x₂, ... x_n) =λ₁x, ... λ_nx
(ii) λ * (λ₁x₁, λ₂x₂, ... λ_nx_n) = (λλ₁)x, ... (λλ_n)x

Comments

Was ist den λ und was bedeutet *  und soll dann  (x₁, x₂, ... x_n) eine Matrix sein oder was ???

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EDIT: Ergänzung zum Kommentar von mathef:

Mach bitte immer erst zwei, drei Leerschläge, bevor du einen Zeilenumbruch eingibst, die scheint das System bei deiner Eingabe nicht zu berücksichtigen.

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Ich bin jetzt selber auf eine Lösung gekommen, bin aber nicht sicher, ob diese stimmt und ob sie gut nachvollziehbar ist.

(i) λx₁ + λx₂ + ... + λx_n =

(das ist eine Linearkombination der Vektoren x₁,x₂,...,x_n)

$$ =\sum _{ i=1 }^{ n }{ \left( \lambda { x }_{ i } \right)  } =\quad \lambda \quad *\quad \sum _{ i=1 }^{ n }{ { x }_{ i } } = $$

λ * (x₁, x₂, ...., x_n)  Aufgabe (ii) habe ich analog zu (i) gelöst

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(i) λx₁ + λx₂ + ... + λx_n =

(das ist eine Linearkombination der Vektoren x₁,x₂,...,x_n)

Das ist verständlich, jedenfalls, wenn λ ∈ K sein sollte, das

steht aber nirgendwo, sieht mir eher wie  λ ∈ Kⁿ  aus  . Aber was soll 

(x₁, x₂, ...., x_n)  sein.   Das ist ein Element aus Vⁿ .  Und dann wäre

λ * (x₁, x₂, ...., x_n) etwas mit einer Verknüpfung von Elementen von

Kⁿ   mit welchen aus  Vⁿ .   Das lässt sich sicher sinnvoll

definieren, müsste aber irgendwo genannt sein .

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Da besteht immer noch das Problem, das mathef im ersten Kommentar erwähnt hat. Du darfst nicht einfach Gleichheitszeichen zwischen Vektoren und Skalare schreiben.

Ergänze noch die Einheitsbasesvektoren ei:

i) λx₁e₁ + λx₂e₂ + ... + λx_ne_n

Das muss auch bei der Summe dann immer x_i e_i heissen, damit dann der Vektor λ * (x₁, x₂, ...., x_n)  wieder stimmt. 

Ich würde die Summenzeichen überhaupt weglassen:

i) 

λx₁e₁ + λx₂e₂ + ... + λx_ne_n 

= λ(x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n )

=λ * (x₁, x₂, ...., x_n)  

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Habe bei der Angabe vergessen: λ ∈ K  Da habe ich mich auch verschrieben: Ich habe gemeint ..... = λ * (x₁ + x₂ + ... + x_n)

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Schreib am besten die Aufgabenstellung selbst nochmals genau hin.

Also ohne Kommata und Klammern, falls es dort keine hatte.

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Ich habe mich ja bei der Angabe komplett verschrieben!!!!  Hier ist die RICHTIGE Angabe!!!   Sei V ein Vektorraum über K. Seien x₁, x₂, ... x_n ∈ V und λ₁, λ₂, ... λ_n , λ ∈ K. Zeige:

(i) λ * (x₁ + x₂ +... + x_n) =λx₁ + .... + λx_n 
(ii) λ * (λ₁x₁ + λ₂x₂ + ... + λ_nx_n) = (λλ₁)x₁ +  ... + (λλ_n)x_n

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Das scheint mir jetzt trivial. Kommt natürlich drauf an, was ihr bereits gezeigt habt.

Vielleicht k(x + y) = kx + ky  ? (k sei lambda).

Dann käme ein Induktionsbeweis in Frage.

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Na, das macht Sinn.

Hier ist auch m. E. Induktion über n ( mit Anfang für n=2) angezeigt.

Vermutlich stand ja auch in der Aufgabe n aus IN mit n≥2.

Wenn du damit nicht klar kommst, kommentiere nochmal.

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Wir haben eine Definition aufgeschrieben, die sagt, dass man die Linearkombination von Vektoren als Summe schreiben kann.

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"Definition aufgeschrieben, die sagt, dass man die Linearkombination von zwei Vektoren als Summe schreiben kann. "

Wenn dort in der "Definition" das Wörtchen 2 nicht steht, bist du eigentlich schon fertig. Sonst die erwähnte Induktion durchführen.