1. Ableitung von Brüchen

Question

Gegeben ist die Funktion f(x)=4+4x^{2 :} 6x⁴. Wie lautet die erste Ableitung f′(x) an der Stelle x=0.61? 

Answer 1

f(x)=(4+4x²) : (6x⁴)

Quotientenregel:

( Nenner*Abl. vom Zähler - Zähler*Abl. vom Nenner ) / Nenner² gibt

f'(x) =( 6x⁴ * 8x  - (4+4x²)*24x³ )  /  (36x⁸).

       =( 48x⁵ - 96x³  -96x⁵  )  /  (36x⁸).

         =( -48x⁵ - 96x³   )  /  (36x⁸).

12x³ ausklammern und kürzen gibt

        = (-4x² - 8 ) / (3x⁵)

einsetzen x=0,61 gibt -37,45

oder:

Erst umformen (ist wohl einfacher)

f(x) =(4+4x²) : (6x⁴) =  2/(3x⁴) + 2/(3x²=

            = (2/3)*x^(-4) + (2/3)*x^(-2)

==>  f ' (x) = (-8/3)*x^(-5) - (4/3)x^(-3) .

Answer 2

f(x) = (4 + 4·x²)/(6·x⁴) = 2/3·x^(-2) + 2/3·x^(-4)

f'(x) = - 4/3·x^(-3) - 8/3·x^(-5)

f'(0.61) = - 4/3·0.61^(-3) - 8/3·0.61^(-5) = -37.45

Answer 3

Aloha :)

$$\left(\frac{4+4x^2}{6x^4}\right)'=\left(\frac{4}{6x^4}+\frac{4x^2}{6x^4}\right)'=\left(\frac{2}{3}x^{-4}+\frac{2}{3}x^{-2}\right)'=-\frac{8}{3}x^{-5}-\frac{4}{3}x^{-3}=-\frac{4}{3}\left(\frac{2}{x^5}+\frac{1}{x^3}\right)$$Wenn du $x=0,61$ einsetzt, erhältst du $-37,45$.