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Beurteilung der Aussagen
Zu (i): Sei \((X, d)\) ein metrischer Raum, \(A \subset X\) eine abzählbare Teilmenge. Dann hat \(A\) nur anzählbar viele Häufungspunkte in \(X\).
Diese Aussage ist
wahr. Ein Häufungspunkt einer Menge \(A\) in einem metrischen Raum \(X\) ist ein Punkt \(x\in X\), in jeder Umgebung von dem mindestens ein Punkt aus \(A\setminus\{x\}\) liegt. Die Menge aller solcher Häufungspunkte von \(A\) wird als der Ableitung von \(A\) bezeichnet. In einem metrischen Raum ist jede abzählbare Menge verteilt auf eine abzählbare Basis der Topologie. Daher kann die Menge aller Häufungspunkte nicht mehr als abzählbar sein, weil jede Umgebung eines Häufungspunktes mindestens einen, aber nur abzählbar viele Punkte von \(A\) enthalten muss. Also ist die Menge der Häufungspunkte höchstens so mächtig wie \(A\) selbst, d.h., sie ist abzählbar.
Zu (ii): Jede nichtleere, vollkommene Menge \(A \subset \mathbb{R}\) ist unendlich.
Diese Aussage ist
wahr. Eine Menge \(A\) in einem metrischen Raum heißt vollkommen, wenn sie abgeschlossen ist und jeder Punkt in \(A\) ein Häufungspunkt von \(A\) ist. Unter dieser Definition kann eine vollkommene Menge in \(\mathbb{R}\) nicht endlich sein. Denn wäre \(A\) endlich, könnte kein Punkt in \(A\) ein Häufungspunkt sein, da in jeder noch so kleinen Umgebung eines jedes Punktes in \(A\) dieses nicht unendlich viele Punkte von \(A\) liegen könnten (was eine Voraussetzung für einen Häufungspunkt ist). Darüber hinaus zeigt die Theorie der reellen Zahlen, dass jede nichtleere, vollkommene Menge in \(\mathbb{R}\) tatsächlich unendlich viele Punkte enthalten muss, weil sie das Intervallschachtelungsprinzip und die Dichtheit der reellen Zahlen beinhaltet, wonach zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen immer eine weitere reelle Zahl liegt.
