Gleichung mit Fallunterscheidung

Question

Aufgabe:
Es soll die Lösungsmenge für \( \sqrt{x^2-2x+1}+x-1 =0 \) bestimmt werden.

Problem/Ansatz:
Habe leider echt keine Ahnung wie ich das Beispiel rechnen soll, die Nullstelle bei 1 war noch leicht zu finden. Wie soll ich dann aber die Formel umformen um auf das richtige Ergebnis (x \(\leq 1\)) zu kommen?

Answer 1

\(x^2-2x+1 = (x-1)^2\)

Somit ist \(\sqrt{x^2-2x+1} = \sqrt{(x-1)^2}\).
Es ergibt sich \(\sqrt{(x-1)^2}+x-1=0 \Leftrightarrow |x-1|+x-1=0\).

Betrag auflösen: \(x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x\geq 1\)

Fall 1: \(x\geq 1\)

\((x-1)+x-1=0 \Leftrightarrow 2x-2 = 0 \Leftrightarrow x=1 \Longrightarrow L_1= \{1\}\)

Fall 2: \(x < 1\)

\(-(x-1)+x-1=0 \Leftrightarrow -x+x+1-1 = 0 \Leftrightarrow 0=0 \Longrightarrow L_2=(-\infty; 1)\)

Somit ergibt sich als Lösungsmenge \(L=L_1\cup L_2 = (-\infty;1]\)

Comments

Heißt das sobald ich einen quadratischen Ausdruck habe, ist das dasselbe wie der Betrag des Ausdruckes?

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Solange du die Wurzel des quadrierten Terms ziehst, ergibt es den Betrag des Terms.

\(\sqrt{f^2(x)} =|f(x)| ,\;\, \sqrt{f(x)}^{\,2} = f(x)\)

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Vielen Dank für die Lösung