Bedingte Wahruscheinlichkeit. Ich soll folgende Ungleichung beweisen: p(B|A)≥p(B)

Question

Angabe:

Without assumptions the plausibility of B is p(B). Assuming that A is true, the plausibility of Bis p(B|A). Thus we can translate the phrase “if A is true,B becomes more plausible” into the inequality p(B|A)≥p(B). Assuming that inequality and using Bayes’rule and the basic laws of probability show the following:

p(B|A)≥p(B)

Problem/Ansatz:

Mit Hilfe der Bayes regeln habe ich aus p(B|A)≥p(B) ->  p(A|B)≥p(A) erhalten, allerdings denke ich nicht dass dies als Beweis Ausreicht und weiter weiß ich auch nicht.

Comments

du sollst davon ausgehen dass p(B|A)≥p(B) gilt und sollst dann p(B|A)≥p(B) zeigen.

ich glaube da stimmt was bei der aufgabenstellung nicht

Answer 1

P(B|A) ist laut Definition \( \frac{P(A\cap B)}{P(A)} \).

Aus P(B|A)≥P(B) folgt also \( \frac{P(A\cap B)}{P(A)} ≥P(B) \).

Das lässt sich umstellen zu  \( \frac{P(A\cap B)}{P(B)} ≥P(A) \), und die linke Seite kann wieder geschrieben werden als die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B).

Mehr ist es wirklich nicht.

(Die Terme bzw. deren Umformung sind natürlich nur definiert für P(A)≠0 und P(B)≠0.)

Comments

was genau zeigt das ganze nun?

wir haben damit eine umformung von

p(B|A) >= P(B)

zu

p(A|B) >= P(A)

gemacht. Wie kann man daraus was schlussfolgern?

Answer 2

Bayes-Regel sagt doch:      p(B|A)   = p(A|B) * p(B) / p(A)

                              <=>     p(B|A) * p(A)   = p(A|B) * p(B)     #

  Da  0 ≤ p(A) ≤ 1 gilt , weil mit einer Zahl

zwischen 0 und 1 multipliziert wird    p(B|A) ≥  p(B|A) * p(A)

                        mit # gibt das                    = p(A|B) * p(B)

nun gilt aber auch   0 ≤ p(A|B) ≤ 1   also ist dieses Produkt    ≥p(B) .

                                                                             q.e.d.

Comments

Mit # wird das dann doch p(B|A) ≥  p(A|B) * p(B) ?

Ich verstehe nicht ganz wie du den Schluss daraus schlussfolgern kannst?

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Stimmt, das war vertippt.  Korrigiere ich.

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Aber das beweist ja dann nicht das was ich brauche oder bin ich blöd?

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Du brauchst p(B|A)≥p(B).

Bei mir gab das (jetzt ohne die Begründungen)

  p(B|A) ≥  p(B|A) * p(A)
             = p(A|B) * p(B)
                   ≥p(B) .

Das ist es doch, oder nicht ?

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Wenn 0 ≤ p(A|B) ≤ 1, dann müsste doch eigentlich p(A|B) * p(B) ≤ p(B)  sein?

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Oh ja, da stand ich mir wohl auf dem Draht.