Uneigentliches Integral berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das uneigentliche Integral:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|3 x|} d x$$

Problem/Ansatz:

Wie muss der Betrag bei der Stammfunktion beachtet werden ?

$$\int e^{-|3 x|} d x=\frac{1}{6} e^{-3 x}\left(\left(e^{3 x}-1\right)^{2}(-\operatorname{sgn}(x))+2 e^{3 x}+e^{6 x}-1\right) + \text{constant}$$

Wolfram schmeißt mir das raus als Stammfunktion.

Verstehe nicht, wie man hier mit der e-Funktion umgehen soll.

Answer 1

Mach doch zwei Teile draus:

Integral von -∞ bis 0  und dann von 0 bis ∞.

Beim 1. Teil hast du dann als Integrand  e^(3x) und das hat als Stammfunktion 1/3 * e^(3x) .und

das in den Grenzen von z bis 0 gibt   1/3 - 1/3 * e^(3z) .  Für z gegen  -∞  geht das gegen 1/3.

Der andere Teil hat dann als Integrand e^(-3x)  und das hat als Stammfunktion -1/3 * e^(-3x) .

In den Grenzen von 0 bis z  gibt das    1/3 * e^(-3z)   -  (-1/3 ) .

Für z gegen  ∞  geht das gegen 1/3.   Also ist das gesamte Integral  2/3.

Comments

kommst du hier durch die Patielle integration drauf  sprich (u*v)´ ? → 1/3 -1/3*e^(3z)

und dann durch -∞ wir 1/3*e^(3*Z) = 0 ?

Answer 2

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Comments

woher kommt die 2?

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Das Integral von minus unendlich bis 0 ist hier genau so groß wie dass Integral von 0 bis unendlich. Also ist das Integral von minus unendlich bis unendlich  das Doppelte des Integrals von 0 bis unendlich.

Answer 3

Die Funktion ist achsensymmetrisch.
Deshalb braucht nur zwischen 0 und ∞ berechnet werden.
∫ e^(-3x) dx
Einfachste Überlegung
Eine e-Funktion hat immer eine e-Funktion als
Stammfunktion
Probeweise
[ e^(-3x) ] ´ = e^(-3x) * (-3)
-3 durch die Gegenoperation wieder wegbringen

[ (-1/3) * e^(-3x) ] ´ = e^(-3x) 
(-1/3) * e^(-3x)  ist die Stammfunktion

(-1/3) * e^(-3x)  zwischen 0 und ∞
(-1/3) * e^(-3*∞)  minus (-1/3) * e^(-3*0)
0 minus ( -1/3 ) = 1/3

Wegen Achsensymmetrie
2 * 1/3 = 2/3

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Einfachste Überlegung
Eine e-Funktion hat immer eine e-Funktion als Stammfunktion

f(x) = e^{(x^2)}    F(x) = ?