Mengen und Mengenäquivalenzen

Question

Ich habe gerade mit meinem Studium angefangen und stehe nun vor einer kniffeligen Aufgabe zum Thema "Mengen und Mengenäquivalenzen".

Folgende Mengengesetze sind vorgegeben:

Seien A, B, C Teilmengen einer gemeinsamen Grundmenge M. Dann gilt:

A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
(Kommutativität)

(A ∩ B) ∩ C =  A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(Assoziativität)

A ∩ (A ∪ B) =  A
A ∪ (A ∩ B) = A
(Absorbtion)

A ∩ (B ∪ C) =  (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) =  (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(Distributivität)

A ∩ A^c = ∅
A ∪ Ac = M
(Komplement)

A ∩ A = A
A ∪ A = A
(Idempotenz) 

A^cc = A
(Doppelkomplement)

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c
(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c
(deMorgansche Regeln) 

M ∩ A = A
∅ ∪ A = A
(Neutralität)

Aufgabe:
A,B,D und E seien Teilmengen einer gemeinsamen Grundmenge M.

1. Zeigen Sie unter ausschließlicher Verwendung der o.g. Mengengesetze, die beiden folgenden Mengengleichungen.
a)
(A^c ∪ B^c)^c ∪ (A^c ∪ B)^c = A
b)
((A ∪ B)^c ∩ E)^c ∪ (D ∩ A) = A ∪ B ∪ E^c

2. Zeigen Sie: A = B genau dann, wenn ß(A) = ß(B).
(Zur Erinnerung: für eine Menge X bezeichnet ß(X) die Potenzmenge von X.)

Answer 1

(A^c ∪ B^c)^c ∪ (A^c ∪ B)^c   de Morgan

= ( A^cc ∩ B^cc ) ∪ (A^cc ∩ B^c)   Doppelkomplement

=  ( A ∩ B) ∪ (A ∩ B^c)  Distributiv1

=  A ∩ (B∪ B^c) komplement2

=  A ∩  M  kommutativ

=  M ∩  A  neutral1

= A

Answer 2

a)
(A^c ∪ B^c)^c ∪ (A^c ∪ B)^c =

(A ∩ B)^cc∪ (A^c ∪ B^cc)^c =

(A ∩ B)^cc∪ (A∩B^c)^cc =

(A ∩ B)∪ (A∩B^c) =

(A∪(A∩B^c))∩(B∪(A∩B^c)) =

       A         ∩  (A∪B) = A

Comments

Vielen lieben Dank :)

mathef hat es so dargestellt wie es bei mir gefordert wurde