Wahrscheinlichkeitsaufgabe mit Urne

Question

für ein Zufallsexperiment stehen vier rote und vier blaue Kugeln zur Verfügung. Zu Beginn befinden sich vier der acht Kugeln in einer Urne die anderen vier dienen als Vorrat. In jedem Schritt des Zufallsexperiments wird nun eine Kugel aus der Urne zufällig gezogen und gegen eine Kugel der anderen Farbe aus dem Vorrat getauscht.

a) zu Beginn befinden sich nur rote Kugeln in der Urne. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist fünfte gezogene Kugel rot?

b) zu Beginn sind jetzt zwei rote und zwei blaue Kugeln in der Urne mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nach zehn Schritten wieder zwei rote und zwei blaue Kugeln in der Urne?

Problem/Ansatz:

ich komme bei der Aufgabe nicht mehr weiter und brauche deshalb mal einen Rat.

Answer 1

a) zu Beginn befinden sich nur rote Kugeln in der Urne. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist fünfte gezogene Kugel rot?

Könntest du einen Zustandsbaum malen und in diesen die Wahrscheinleichkeiten einzeichnen.

Dann entsprechend den beiden Pfadregeln die Wahrscheinlichkeiten bestimmen. So viele Pfade sind das eigentlich nicht die man berücksichtigen muss.

P(rrrbr, rrbrr, rbrrr, rrbbr, rbrbr) = (4·3·2·3·2 + 4·3·2·3·2 + 4·1·4·3·2 + 4·3·2·1·4 + 4·1·4·1·4) / 4^5 = 17/32

Jetzt sollte man sich aber dransetzen und schauen ob man das auch irgendwie vereinfachen kann.

Comments

Ich hätte es jetzt vermutlich mit einer Markov-Kette modelliert.

a)

[0, 0.25, 0.5, 0.75, 1]·[0, 0.25, 0, 0, 0; 1, 0, 0.5, 0, 0; 0, 0.75, 0, 0.75, 0; 0, 0, 0.5, 0, 1; 0, 0, 0, 0.25, 0]^4·[0; 0; 0; 0; 1] = 17/32

b)

[0, 0.25, 0, 0, 0; 1, 0, 0.5, 0, 0; 0, 0.75, 0, 0.75, 0; 0, 0, 0.5, 0, 1; 0, 0, 0, 0.25, 0]^10·[0; 0; 1; 0; 0] = [1/8; 0; 3/4; 0; 1/8]

Wir befinden und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.75 wieder im Zustand c.

---

Dankeschön du hast mir echt geholfen