Den Parameter a mit dem minimalen Anstieg von 2 Ge/Me bestimmen

Question

Aufgabe:

c) Die variablen Kosten des Betriebes haben sich geändert. Die neue Gleichunh der Gesamtkosten hat die Form K(x) = ax³-6x²+12x+10. Bestimmen sie den Parameter a so, dass der minimale Anstieg der Gesamtkosten 2GE/ME beträgt.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wieso man die erste Ableitung macht und die zwei dann in das a einsetzt, statt die zweite. Oder wieso überhaupt ableiten??? :( Ich verstehe gar nicht, was wir da gemacht haben

Answer 1

Den minimalen Anstieg der Gesamtkosten hat man im Wendepunkt. Damit ist zunächst die Wendestelle zu ermitteln. Also Zweite Ableitung gleich Null zu setzen.

K(x) = a·x^3 - 6·x^2 + 12·x + 10

K'(x) = 3·a·x^2 - 12·x + 12

K''(x) = 6·a·x - 12 = 0 --> x = 2/a

Der Anstieg der Gesamtkosten wird beschrieben durch die erste Ableitung. Wenn jetzt der Minimale anstieg, also der Anstieg im Wendepunkt 2 sein soll, ist die Wendestelle in die erste Ableitung einzusetzen und das ganze gleich 2 zu setzen. Dann kann man nach a auflösen.

K'(2/a) = 3·a·(2/a)^2 - 12·(2/a) + 12 = 2 --> a = 1.2