Eigenwert lineare Abbildung

Question

Aufgabe:

Sei F∈End(V). Wenn F^2+F Eigenwert -1 hat, dann hat F^3 Eigenwert 1

Ansatz:

Es handelt sich um eine Beweisvorlage:

Es sei \( v\in V\setminus\{0_V\}\)Eigenvektor zum Eigenwert -1.

Dann ist \((F^2+F)(v)=-1\cdot v=F^2(v)+F(v) \Leftrightarrow F^2(v) = (F^2+F)(v)-F(v) \)

Weiter gilt

\(F^3(v)=-F(v)-F^2(v)=-(F(v)+F^2(v))=1\cdot v \)

Problem:

Aber warum gilt jetzt:

\(F^3(v)=-F(v)-F^2(v) \) ?

Ich komme nur auf das hier, was mir aber nichts bringt...

\(F^3(v)=F(F^2(v))=F((F^2+F)(v)-F(v))=F((F^2(v)+F(v))-F(v)=F^3(v)+F^2(v)-F^2(v)=F^3(v)\)

Answer 1

Aloha :)

\(F^2+F\) hat den Eigenwert \(-1\). Dann gibt es dazu einen Eigenvektor \(\vec x\ne\vec 0\), sodass:

$$(F^2+F)\cdot\vec x=-\vec x$$$$F\cdot(F^2+F)\cdot\vec x=-F\cdot\vec x$$$$F^3\cdot\vec x+F^2\cdot\vec x=-F\cdot\vec x$$$$F^3\cdot\vec x=-F^2\cdot\vec x-F\cdot\vec x$$$$F^3\cdot\vec x=-(F^2+F)\cdot\vec x$$$$F^3\cdot\vec x=-(-\vec x)$$$$F^3\cdot\vec x=\vec x$$Also hat \(F^3\) den Eigenwert \(1\).

Comments

Ah super! So geht es auch. Hatte aber (warum auch immer...) nie die Eigenschaft F(-x)=-F(x) ausgenutzt.