Beweisen Sie die Binomialentwicklung von (1+x)^n

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die Binomialentwicklung aus Folgerung  jetzt 
mittels vollständiger Induktion

Problem/Ansatz:

kann jemand mir dabei helfen , ich danke euch für die Hilfe

Answer 1

Aloha :)

Verankerung bei \(n=0\):

$$(1+x)^0=1\quad;\quad\sum\limits_{k=0}^0\binom{0}{k}x^k=\binom{0}{0}x^0=1\quad\checkmark$$

Induktionsschritt \(n\to(n+1)\):

$$(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^n=(1+x)\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k$$$$=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k+\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{k+1}=1+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n}{k}x^k+\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}x^{k+1}+x^{n+1}$$$$=1+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n}{k}x^k+\sum\limits_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}x^k+x^{n+1}$$$$=1+\sum\limits_{k=1}^n\left[\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right]x^k+x^{n+1}=1+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n+1}{k}x^k+x^{n+1}$$$$=\binom{n+1}{0}x^0+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n+1}{k}x^k+\binom{n+1}{n+1}x^{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}x^k$$

Comments

super vielen daaaank

Answer 2

Verwende (1+x)^(n+1) = (1+x) * (1+x)^n

                                  = 1*(1+x)^n + x*(1+x)^n

und verwende nun die Induktionsannahme, fasse nach Potenzen

von x zusammen  und bedenke

$$\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n\\k+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+1\\k+1 \end{pmatrix}$$