Lineare Algebra Gruppen Aufgabe

Question

Ich habe eine Problem bezüglich die Gruppen in lineare Algebra. Ich füge hier einen Bild mit meiner Aufgabe. Es würde uns sehr knapp und kurz erklärt und daher weiss ich nicht genau was ich in diese Aufgabe machen kann und soll. Ich weiss dass es gibt 4 Voraussetzungen die erfüllt werden müssen damit wir eine Gruppe haben und ich weiss diese Voraussetzungen. Aber ich verstehe den Zusammenhang mit diese Aufgabe nicht genau und ich würde Ihnen fragen um eine Orientierung oder Tipps wo ich beginnen kann und was ich machen kann.

Sei (G,◦) eine Gruppe und l(N,G):={(a_n)n∈N∣a:N→G} die Menge aller Folgen
auf G. Zeigen Sie, dass fur a,b∈l(N,G), die Verknupfung ¨
(a_n)n∈N ◊ (b_n)n∈N:= (a_n  ◦ b_n)n∈N
(l(N,G),) zu einer Gruppe macht. Wie sehen jeweils das neutrale Element und
Inverse Elemente in (l(N,G),) aus, wenn (G,◦)=(R,+) oder (G,◦)=(R\{0}, ·)?

Ich bedanke Ihnen viel im Voraus.

Answer 1

Zeigen Sie, dass fur a,b∈l(N,G), die Verknupfung ¨
(an)n∈N ◊ (bn)n∈N:= (an  ◦ bn)n∈N
(l(N,G),) zu einer Gruppe macht.

1. Abgeschlossenheit: Es ist also zu zeigen, dass  (an)n∈N ◊ (bn)n∈N

wieder ein Element von l(N,G) ist. Dazu ist nur zu prüfen, ob die einzelnen

Folgenglieder alle aus G sind. Dem ist so, da G abgeschlossen ist, also ist

an  ◦ bn immer wieder aus G.

Entsprechend folgt die Assoziativität von ( l(N,G) , ◊  ) aus der in (G,◦) .

neutrales Element ist die konstante Folge, deren Glieder alle gleich dem

neutralen Element von (G,◦)  sind. Entsprechend ist die Inverse Folge zu

(an)n∈N die Folge  ( ( an)^(-1) )_n∈N