Es sei G:={a+b*√2:a,b∈Q}⊂(R,+,·). Mit Wurzel ???
(a) Zeigen Sie
• G ist eine Untergruppe von (R, +).
Dazu brauchst du nur : 0 ∈ G ( ist klar für a=b=0) und Abgeschlossenheit bei +
zeigst du durch (a+b*√2) + {c+d*√2) = (a+c) + (b+d)√2 mit a,b,c,d sind auch a+c und b+d aus Q
• (Q, +) ist eine Untergruppe von (G, +). Das sind die mit b=0. Auch das ist gegenüber + abgeschlossen.
(b) Zeigen Sie, dass (G, ·) ein Monoid ist.
assoziativ ist ja von (R,*) geerbt. neutrales Element ist 1+0*√2
Bestimmen Sie die Einheiten in (G, ·).
dazu musst du schauen, wann 1 / (a+b√2) in G existiert. Erweitern mit (a-b√2)
gibt (a-b√2) / (a^2 - 2b^2) und wenn der Nenner nicht 0 ist, hast du das Inverse zu
(a+b√2) nämlich a / (a^2 - 2b^2) + b / (a^2 - 2b^2) *√2 .
Einheiten sind also alle, für die a^2 - 2b^2 nicht 0 ist .
Da wäre (außer bei 0 ) dann a^2 = 2b^2 bzw. a^2 / b^2 = 2
also a/b = √2 oder a/b = -√2 was für
Elemente von Q nicht möglich ist.
Deshalb ist (G \ {0}, ·) eine Untergruppe von (R \ {0}, ·).
