Quantorenlogik:: Allaussagen und Existenzaussagen

Question

Aufgabe:

Ich verstehe den Unterschied zwischen Allaussagen und Existenzaussagen nicht.

Im Skript steht:

Sind Grundmenge und Lösungsmenge identisch, dann ist die Aussage allgemeingültig.

Existenzsaussage (also eine erfüllbare Aussage)

Ist die Lösungsmenge in der Grundmenge enthalten, ist die Aussage erfüllbar.

Allaussage

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die angegeben Beispiele dazu aber nicht.

(x+1) (x-1) =x² -1 und die Grundmenge ist 1,2,3 - also darf ich 1,2,3 für x einsetzen. Habe ich probehalber gemacht und bin dann auf die Ergebnisse 0,1,8 gekommen - wo soll da die Lösungsmenge identisch mit der Grundmenge sein?

Für eine Allaussage ist das Beispiel: x²    +3 = 4x - die Grundmenge ist 1,2,3

Auch hier habe ich mal die Werte eingesetzt. Im Skript sagen sie, 1 und 3 sind als Lösungsmenge in der Grundmenge enthaten. Hier komme ich auf 4=4, 7=8 und 12=12 also eigentlich gar nicht lösbar?

Ich bin verzweifelt - habe ich den Begriff Lösungsmenge falsch verstanden?

Lg

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Vom Duplikat:

Titel: Quantorenlogik: Allaussagen und Existenzaussagen

Stichworte: existenz,negation,mengenlehre,axiome

Aufgabe:

Ich verstehe den Unterschied zwischen Allaussagen und Existenzaussagen nicht.

Im Skript steht:

Sind Grundmenge und Lösungsmenge identisch, dann ist die Aussage allgemeingültig.

Existenzsaussage (also eine erfüllbare Aussage)

Ist die Lösungsmenge in der Grundmenge enthalten, ist die Aussage erfüllbar.

Allaussage

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die angegeben Beispiele dazu aber nicht.

(x+1) (x-1) =x² -1 und die Grundmenge ist 1,2,3 - also darf ich 1,2,3 für x einsetzen. Habe ich probehalber gemacht und bin dann auf die Ergebnisse 0,1,8 gekommen - wo soll da die Lösungsmenge identisch mit der Grundmenge sein?

Für eine Allaussage ist das Beispiel: x²    +3 = 4x - die Grundmenge ist 1,2,3

Auch hier habe ich mal die Werte eingesetzt. Im Skript sagen sie, 1 und 3 sind als Lösungsmenge in der Grundmenge enthaten. Hier komme ich auf 4=4, 7=8 und 12=12 also eigentlich gar nicht lösbar?

Ich bin verzweifelt - habe ich den Begriff Lösungsmenge falsch verstanden?

Lg

Answer 1

Ich verstehe den Unterschied zwischen Allaussagen und Existenzaussagen nicht.

(x+1) · (x-1) = x²  - 1         und   x²  + 3  = 4x    sind Aussageformen.

(Aussageformen werden erst zu Aussagen, wenn man Einsetzungen für die Variablen durchführt!)

Die willkürlich vorgegebene Grundmenge ist  G = {1, 2, 3}.

Die Lösungsmenge jeder der beiden Aussageform ist die jeweilige Menge aller Einsetzungen für x∈G, für die sich eine wahre Aussage ergibt.

Für    (x+1) · (x-1) = x²  - 1   ist  L = {1, 2, 3} = G   

  [Bei den  Einsetzungen aus G ergibt sich  0 = 0 , 3 = 3 , 8 = 8 ]

→  Für alle x∈G gilt:  (x+1) · (x-1) = x²  - 1   (Allaussage , wenn L=G) 

----------------

Für    x²  + 3  = 4x   ist  L = {1, 3} ⊂ G 

    [Bei den  Einsetzungen aus G ergibt sich  4 = 4 , 7 ≠ 8 , 12 = 12 ]

→  Es gibt (mindestens ein) x∈G  mit   x²  + 3  = 4x  (Existenzaussage, wenn L⊂G)

Gruß Wolfgang 

Comments

Vielen Dank! Das war viel eindeutiger!

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immer wieder gern :-)