Anschaulichkeit bei Parametrisierung der logarithmischen Spirale

Question

auf dem aktuellen Übungsblatt von Vertiefung Analysis habe ich die Aufgabe, die  logarithmische Spirale zu untersuchen, die durch die Funktion

γ(t) = (e^-ct  * cos(t), e^-ct  * sin(t))

parametrisiert ist für t >= 0 und c >0

Ich soll die Länge dieser Funktion abhängig von b im Intervall [0,b] bestimmen.

Im Endeffekt lautet meine Lösung

L(γ) =\( \frac{\sqrt{c^2+1}}{c} \) * (e⁰ - e^-cb)

Ich komme jz mal zu meiner eigentlichen Frage, und zwar, welche Funktion genau hat das c im Exponenten? Wie wirkt sich das auf den Verlauf der Spirale aus, wenn man das c variiert.

 Und zusätzlich dazu. Es wäre echt super wenn irgendjemand für den die  Aufgabe vielleicht nicht so lange dauert, überprüfen könnte ob meine Lösung für die Aufgabe stimmt.

Ich habe die Längenformel aus dem Skript angewandt mit:

L(γ)  = \( \int\limits_{a}^{b} \) || γ'(t) || dt = \( \int\limits_{a}^{b} \) \( \sqrt{γ'_1(t)² + γ'_2(t)²} \) dt

und komme nach einsetzten und gaaaanz viel umformen auf:

\( \int\limits_{0}^{b} \) -e^-ct * \( \sqrt{c²+1} \) dt

Nachdem ich das integriert und die Grenzen eingesetzt habe komme ich auf auf die schon genannten 
\( \frac{\sqrt{c^2+1}}{c} \) * (e⁰ - e^-cb)

Leider waren das aufm Papier insgesamt über 20 sehr lange Zeilen, und da würde ich morgen noch da sitzen wenn ich das hier alles ausführlich Posten würde, aber vielleicht kennt sich ja jmdn damit aus und weiß auch was rauskommen müsste.
MfG

Comments

Hallo

  wiki sagt unter logarithmische Spirale dein Ergebnis , dort gibt es auch Bildchen

je größer c um so schneller wird der Radius klein die Kurve geht schnell nach 0, für negative  c dagegen wächst sie und ist wirklich ne Spirale

Gruß lul

Answer 1

Aloha :)

Die Bedeutung des Parameters \(c\) kannst du schon direkt an der Funktion erkennen:$$\gamma(t)=\left(\begin{array}{c}e^{-ct}\cos t\\e^{-ct}\sin t\end{array}\right)$$Wenn \(c>0\) ist, wird \(e^{-ct}\) mit zunehmender Zeit \(t\) immer kleiner, die Spirale läuft von außen nach innen. Wenn \(c<0\) ist, wird \(e^{-ct}\) mit zunehmender Zeit \(t\) immer größer, die Spirale läuft von innen nach außen. Falls \(c=0\) ist, liegt keine Spirale vor, sondern ein Kreis. Je größer der Betrag von \(|c|\) ist, desto schneller läuft die Spirale nach innen bzw. nach außen.

Zur Überprüfung deiner Rechnung:$$L=\int\limits_0^b\left|d\gamma\right|=\int\limits_0^b\left|\frac{d\gamma}{dt}\right|\,dt=\int\limits_0^b\left|\left(\begin{array}{c}-ce^{-ct}\cos t-e^{-ct}\sin t\\-ce^{-ct}\sin t+e^{-ct}\cos t\end{array}\right)\right|\,dt$$$$\phantom{L}=\int\limits_0^be^{-ct}\sqrt{(c\cos t+\sin t)^2+(c\sin t-\cos t)^2}\,dt$$$$\phantom{L}=\int\limits_0^be^{-ct}\sqrt{c^2\cos^2t+2c\sin t\cos t+\sin^2t+c^2\sin^2t-2c\sin t\cos t+\cos^2t}\,dt$$$$\phantom{L}=\int\limits_0^be^{-ct}\sqrt{c^2+1}\,dt=\left[-\frac{\sqrt{c^2+1}}{c}e^{-ct}\right]_{t=0}^b=\sqrt{1+\frac{1}{c^2}}\left(1-e^{-bc}\right)$$

Answer 2

Meine Berechnung , aber keine Garantie !