Aufgabe:
γ: [a,b]→ℝn ist eine geschlossene, überschneidungsfreie, reguläre und stetig differenzierbare Funktion, wobei γ'(a)=γ'(b).
Zeige, dass M:=γ([a,b]) eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit und, dass
\( \int\ \)f(x)dσ(x) = \( \int\limits_{a}^{b} \)f(γ(t))|γ'(t)|dt für jede Riemann integrierbare Funktion f:M→ℝ
Das linke Integral geht dabei über M.
Problem/Ansatz:
Zuerst will ich zeigen, dass die Menge M eine 1-dim Untermannigfaltigkeit ist. Ich bin mir nicht sicher, aber ich verstehe, die Aufgabe so, dass das Bild von Gamma die Menge M ist.
Dann gibt es für jedes x aus M eine offene Umgebung U⊂ℝn und zwar den Ball mit Radius R>0 BR (x)⊂ℝn .
Jetzt muss ich einen passenden Diffeomorphismus finden, jedoch komme ich an dieser Stelle nicht weiter. Wie kann ich mir hier einen Diffeomorphismus definieren?
Der zweite Teil der Aufgabe sollte dann keine Probleme bereiten.
