Wieso sind diese Definitionen der Krümmung ebener Kurven äquivalent?

Question

Ich habe hier die Definition der Krümmung einer Kurve die durch die Parametrisierung c nach der Bogenlänge dargestellt wird, diese lautet: k = c'' * v, wobei k die Krümmung und v der Normalenvektor im gesuchtenpunkt ist.

Dann habe ich noch eine weitere Definition:

\( k = ⟨ \left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) * c' , c'' ⟩ \)

die zu der ersten Definition äquivalent sein soll.

Wieso sind diese Definitionen der Krümmung ebener Kurven äquivalent?

Answer 1

mir sind diese Definitionen nicht geläufig, aber wenn du mit "*" das Skalarprodukt in

k = c'' * v meinst,

dann sind die beiden Gleichungen äquivalent, da

$$ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1& 0 \end{pmatrix} \cdot c' $$

der zum Tangentialvektor orthogonale Vektor auf einer ebenen Kurve ist (also der Normalenvektor v aus der 1. Gleichung ;) )

Comments

oh mir fällt auf ich hab nen schreibfehler bei der frage gemacht, es ist nicht k= c'' * v, sondern c'' = k * v, "*" ist nicht das skalarprodukt

trotzdem danke!