Hallo,
da im Hinweis auf das Kreuzprodukt angespielt wird, gehe ich davon aus, dass ihr für reguläre Kurven im \(\mathbb{R}^3\) die Krümmung charakterisiert habt als:$$\kappa_\gamma(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}$$ Zu zeigen ist nun, dass Krümmung invariant unter euklidischen Bewegungen (dargestellt durch die affine Abbildung \(E: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3, x\mapsto Ax+c\), wobei \(A\in \operatorname{SO}(3)\) und \(c\in \mathbb{R}^3\)) ist, d. h. \(\kappa_\gamma(t)=\kappa_{E\circ \gamma}(t)\). Da wir die erste und zweite Ableitung von \(E\circ \gamma\) brauchen, ist die mehrdimensionale Kettenregel hilfreich:Es gilt \(E'(t)=A\gamma'(t)\) und \(E''(t)=A\gamma''(t)\).
Also:$$\kappa_{E\circ \gamma}(t)=\frac{||(A\gamma'(t))\times (A\gamma''(t))||}{||A\gamma'(t)||^3}\overset{(*)}=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|y'(t)|^3}=\kappa_{\gamma}(t)$$ In \((*)\) verwende ich einerseits den Hinweis, der dir geben wurde und darüber hinaus die Längentreue orthogonaler Matrizen.
Die Invarianz der Torsion \(\tau(t)=\frac{(\gamma'(t)\times \gamma''(t))\cdot \gamma'''(t)}{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|^2}\) bzgl. euklidischer Bewegung lässt sich auch nach dem Schema zeigen.
