Kombinatorik: Wie viele achtstellige Zahlen gibt es, a) in denen alle Ziffern verschieden sind, usw.

Question

hey Leute ,

ich habe eine Aufgabe in Wahrscheinichkeitstheorie, wodrin ich noch leider allgemein Schwierigkeiten habe die Aufgaben zu lösen.

Die Aufgabe lautet:

Wie viele achtstellige Zahlen gibt es,
a) in denen alle Ziffern verschieden sind,
b) welche durch fünf teilbar sind, ¨
c) die genau dreimal die Ziffer 4 enthalten,
d) in denen keine Ziffern mehr als zweimal vorkommt und keine Null enthalten ist?

 Ich weiß zum Beispiel nict bzw. ich sehe nicht welche Formel ich hier benutzen muss,wie man darauf kommt etc.

Ich habe mir die Vorlesung angeguckt, die aber leider für mich persönlich  nicht übersichtlich ist.

Könnte bitte einer mir die Aufgabe erklären und vieleicht Lösungsansätze und Tipps geben wie es diese lösen könnte?

Vielen DANKim voraus?

Answer 1

Wie viele achtstellige Zahlen gibt es,
a) in denen alle Ziffern verschieden sind, 

Annahme du willst keine führende Nullen und du meinst natürliche Zahlen im Dezimalsystem.

Zwischen den einzelnen Positionen gilt "und dann noch". Daher "mal" (Produktregel)

Daher 9 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 Möglichkeiten

b) welche durch fünf teilbar sind, 

Die letzte Ziffer ist 0 oder 5, Rest egal.

9 * 10^6 * 2 Möglichkeiten.

Du siehst: Man muss einfach "zählen" und braucht erst mal keine Formeln.

Nun schaust du am besten in deine Unterlagen, damit du weisst, welche Formeln ihr überhaupt benutzen dürft.

[spoiler]

c) die genau dreimal die Ziffer 4 enthalten,

1. Fall Eine 4 steht an erster Stelle (ergibt Faktor 1 vorn)

Anzahl Möglichkeiten die übrigen zwei Vierer zu platzieren: (7 tief 2) und dann die restlichen 5 Ziffern der Reihe auf den freien Positionen nach wählen.
1* (7 tief 2) * 9^5

2. Fall Keine  4 steht an erster Stelle.
Anzahl Möglichkeiten die drei Vierer "hinten" zu platzieren: (7 tief 3) und dann die restlichen Ziffern der Reihe auf den freien Positionen nach wählen.
(7 tief 3) * 8 * 9^4

Nun noch beide Resultate addieren.

Bitte alles kontrollieren und dann d) selber probieren.

d) in denen keine Ziffern mehr als zweimal vorkommt und keine Null enthalten ist?

Comments

9·10⁶·2

In der Mitte stehen 6 Ziffern.

---

Danke. Ist bei b) korrigiert.

---

zu c) Meine Lösung sieht ganz anders aus. Ich bin mir aber auch nicht sicher, welche richtig ist. Die fünf anderen Ziffern müssen nicht unterschiedlich sein.

---

Die fünf anderen Ziffern müssen nicht unterschiedlich sein.

Danke. So besser?

Answer 2

Hallo Ela,

Formeln nützen bei solchen Aufgaben zunächst nicht so viel. Du musst über jedes Problem neu nachdenken.

Eine achtstellige Zahl ist ja z.B. 12345678. Dabei darf die vorderste Stelle, also die 10Millionen-Stelle keine Null sein.

Für diese Stelle gibt es also 9 Möglichkeiten. Das gilt für a) bis d).

zu a) alle Ziffern verschieden

Die zweite Stelle von links:

Hier gibt es auch 9 Kandidaten, da zu den 8 verbliebenen noch die Null hinzu kommt.

Für die dritte Stelle bleiben 8, usw.

Für die achte Stelle sind dann noch 3 Ziffern übrig.

Die Zahlen müssen multipliziert werden: 9·9·8·7·6·5·4·3 = 1.632.960

Antwort: Es gibt 1.632.960 achtstellige Zahlen mit unterschiedlichen Ziffern.

zu b)

Wenn die Zahl durch 5 teilbar ist, muss die letzte Ziffer ein 0 oder 5 sein. Es gibt also 2 Möglichkeiten.

Für die erste Ziffer gibt es wieder 9 Möglichkeiten und auf den restliche 6 Stellen darf jede Ziffer von 0 bis 9 stehen.

Also 2·9·10⁶=18·10⁶ Zahlen.

zu c)

Zunächst nehmen wir einmal an, dass die drei Vieren am Ende stehen. Für die vorderen 5 Stellen gibt es dann 8·9·9·9·9 Möglichkeiten, da für die erste Stelle ja die 0 und die 4 wegfallen und für die anderen vier Stellen die 4 nicht erlaubt ist.

Da die drei Vieren aber an jeder beliebigen Position stehen dürfen, müssen wir gucken, wie wir die drei auf acht Positionen verteilen können. Jetzt brauchst du doch eine Formel, nämlich

\(\binom{8}{3}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=56\)

Mit dieser Zahl müssen wir das obige Zwischenergebnis multiplizieren:

56·8·9·9·9·9=2.939.328

zu d) Es gibt verschiedene Fälle:

Alle Ziffern unterschiedlich, eine Ziffer doppelt, zwei doppelt, drei doppelt und vier doppelt.

Am besten berechnet man für jeden Fall die Anzahl und addiert dann alles.

Ich würde so anfangen:

Keine Ziffer doppelt: 9·8·7·6·5·4·3

Eine Ziffer doppelt, z.B. die 9. Die Zahl ende mit 99.

Dann gibt es 8·7·6·5·4·3 Möglichkeiten für die ersten 6 Ziffern. Da am Ende aber 11, .., 99 stehen können, haben wir 9· 8·7·6·5·4·3 Zahlen, bei denen die letzten Ziffern gleich sind. Nun müssen die gleichen Ziffern noch auf die anderen Plätze verteilt werden. Das geht auf (9 über 2), also 36 Arten.

36·9·8·7·6·5·4·3

usw.

Comments

Bei c) und d) ist es etwas raffinierter. Das sehe ich mir später genauer an.

---

Warum brauchst du bei c) die Unterscheidung zwischen 4 an der ersten Stelle oder nicht nicht?

---

Habe mir das durchgelesen und versucht zu verinnerlichen. Habe es aufjedenfall mehr verstanden als am Anfang.

Vielen Dank