Gruppentheorie, Eindeutigkeit des neutralen und des inversen Elements

Question

die Frage steht schon im Titel. Ich soll als Übungsaufgabe zeigen das das neutrale Element n einer Gruppe eindeutig ist und das das inverse Element a' zu einem Element a eindeutig ist.

Mir fehlt die Übung, ich kriege das nicht hin. Kann mir das bitte jemand vorführen?

Wäre super nett...

Answer 1

Aloha :)

Interessant, ich hatte eben schon mal eine Frage zu Gruppen beantwortet. Das scheint wohl gerade Thema in den Vorlesungen zu sein :)

Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit des neutralen Elementes \(n\). Dazu nehmen wir an, \(n'\) sei ein weiteres neutrales Element. Dann ist \(n'=nn'\), weil \(n\) neutral ist. Es ist aber auch \(nn'=n\), weil \(n'\) neutral ist. Also ist \(n'=nn'=n\).

Nun zeigen wir die Eindeutigkeit des Inversen. Seien \(a'\) und \(a''\) zwei inverse Elemente zu \(a\). Dann ist$$a''=a''n=a''(aa')=(a''a)a'=na'=a'$$