Eindeutigkeit der neutralen Elemente der Addition und Multiplikation beweisen

Question

Aufgabe:

Beweisen sie folgende Eigenschaften aus den Körpereigenschaften der reellen Zahlen:

Die neutralen Elemente der Addition und der Multiplikation sind eindeutig bestimmt.

Problem/Ansatz:

Ich bin der Meinung, dass ich das soweit richtig habe, nur ich weiß nicht ganz genau, ob das die Eindeutigkeit zeigt.

Danke für die hilfe

Text erkannt:

\( \begin{array}{l} 0+a=a \text { und } \\ 0^{\prime}+a=a \end{array} \)
Sei num \( a=0 \) and \( a=0^{\prime} \)
\( \begin{array}{l} 0+0^{\prime}=0^{\prime} \Leftrightarrow 0=0^{\prime} \\ 0^{\prime}+0=0 \Leftrightarrow 0^{\prime}=0 \end{array} \)
Nentale allent der Additien is eirdentio.
\( \varepsilon: \exists e \in \mathbb{R}: e \cdot a=a \) mit \( a \in \mathbb{R} \)
Anyenomen es gibt 2 Nentale Etenente:
\( e, e_{n} \in \mathbb{R} \)
\( \begin{array}{l} e_{i} \cdot a=a \\ e_{2} \cdot a=a \text { (1) } \end{array} \)
Nach (1) yilt: \( e_{1} \cdot e_{2}=e_{2} \) elenso,
\( \operatorname{Nach}(2) \) yilt: \( e_{2} \cdot e_{1}=e_{1} \)
calso in \( e_{n}=e_{2} \square \)

Answer 1

Der Anfang ist doch eher:

                    ∃e∈ℝ ∀a∈ℝ  e+a=a und a+e=a

Wäre nun e' ein weiteres neutrales El, dann hieße das

                     ∀a∈ℝ  e'+a=a und a+e'=a

also insbesonder e+e'=e .

und wegen # aber auch e+e'=e'

also e=e'.