Hätte man bei Körperaxiomen auf die Forderung nach Eindeutigkeit der neutralen Elemente verzichten können?

Question

Ich verstehe diese Aufgabenstellung nicht! Vielleicht wäre es durch eine Umformulierung verständlicher. Die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie, dass man bei Körperaxiomen auf die Forderung nach Eindeutigkeit der neutralen Elemente hätte verzichten können, genauer:

(1) Gibt es 0_1 und 0_2, sodass für alle x Element von R gilt, x + 0_1 = x und x + 0_2 = x, so ist 0_1 = 0_2.

Ich bin nun so vorgegangen, dass ich 0_1 = 0_2 bewiesen habe. Ist das richtig?

Answer 1

Ich bin nun so vorgegangen, dass ich 0_1 = 0_2 bewiesen habe. Ist das richtig?

Das ist genau das, was du machen solltest.

Vielleicht wäre es durch eine Umformulierung verständlicher.

Mathematische Aussagen lassen sich in Form von "Wenn ... dann ..."-Aussagen formulieren:

        Wenn die Aussage A gilt, dann gilt die Aussage Z.

Zum Beweis dieser Aussage stellt man sich auf den Standpunkt, das A gilt und man beweist dann, dass Z gilt.

Gibt es 0_1 und 0_2, sodass für alle x Element von R gilt, x + 0_1 = x und x + 0_2 = x, so ist 0_1 = 0_2.

Die Aussage A lautet

        R ist ein Körper und

        0₁ ∈ R und

        0₂ ∈ R und

        x + 0₁ = x für alle x ∈ R und

        x + 0₂ = x für alle x ∈ R.

Die Aussage Z lautet

        0₁ = 0₂.

Beim Beweis von Z darfst du die Aussage A verwenden.