Eindeutige Bestimmtheit des neutralen Elements als Begründung für die "Nicht-Neutralität" anderer Elemente?

Question

Sei K ein Körper mit vier Elementen. Die neutralen Elemente bzgl. Addition und Multiplikation sind dann voneinander verschieden und wir können sie mit 0 und 1 bezeichnen. Die beiden verbleibenden Elementen bezeichnen wir mit a und b.

Ich möchte jetzt zeigen, dass in diesem Körper z.B. a ⋅ a ≠ a und 1 + b ≠ 1 ist (und noch einige andere Annahmen begründen oder widerlegen, was aber unwichtig ist).

Ich weiß, die neutralen Elemente in einem Körper sind eindeutig bestimmt (d.h. gäbe es ein weiteres neutrales Element für die gleiche Verknüpfung, wäre dieses genau gleich mit dem bekannten neutralen Element, das verstehe ich).

Meine Frage ist: Heißt „eindeutig bestimmt“, dass es tatsächlich nur ein einziges neutrales Element geben kann, oder kann es auch zwei geben, die einfach genau gleich sind?

Bzw. reicht es um zu begründen, dass eben a ⋅ a ≠ 1 (sonst müsste a = 1 sein), oder 1 + b ≠ 1 (hier müsste b = 0 sein), festzustellen, dass das neutrale Element eindeutig bestimmt ist und deshalb a ≠ 1 und b ≠ 0 sind?

Comments

Meine Frage ist: Heißt „eindeutig bestimmt“, dass es tatsächlich nur ein einziges neutrales Element geben kann, oder kann es auch zwei geben, die einfach genau gleich sind?

Hm... verschieden aber gleich?

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Mir ist im Grunde schon klar, dass das gleiche Element nicht mehrmals in einer Menge enthalten sein kann. Die Frage ist eigentlich nur, ob es schon als "zeigen" gilt, nur zu sagen, dass z.B. a nicht 1 sein kann, weil es die 1 schon gibt, oder ob das keine ausreichende Begründung ist.

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Nun ja, wenn \(a=1\) ist, dann hat der Körper nicht mehr vier Elemente.

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Das habe ich mir auch schon gedacht. Es tut mir auch leid, hier mit dieser doch eher trivialen Frage zu nerven, habe nur nach Stundenlangem herumrechnen mittlerweile irgendwie den Überblick darüber verloren, was logisch ist.

Ich danke schon mal für die Antworten. Manchmal hilft es ja schon, Gedanken in Worte zu fassen, um etwas klarer zu sehen.

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Die neutralen Elemente einer kommutativen Verknüpfung haben untereinander eine ambivalente Beziehung.

Answer 1

du hast vier verschiedene 0 ,1 a, b und willst zeigen

a ⋅ a ≠a

nimm an a ⋅ a = a

da a ungleich o , besitzt a ein Inverses

multipliziere damit und erhalte

(a*a)*a^-1 = a * a^-1  

wegen Assoziativität und Def. des Inversen:

a*(a*a^-1 )= 1    wieder Def. des Inversen:

a * 1 = 1    Def des neutralen

a = 1 im Widerspruch zur Vor, verschiedene 0 ,1 a, b

Comments

Es lässt sich noch leichter zum Widerspruch führen durch:

\( a^2 = a \)

\( a^2 - a = 0 \)

\( a(a-1) = 0 \)

Die letzte Gleichung hieße \( a = 1 = 0 \), ein Widerspruch.

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Nicht ganz, die letzte Gleichung bedeutet \( a=1 \vee a = 0 \), was ja in beiden Fällen ein Widerspruch zur Annahme wäre, das \(a\) von 0 und 1 verschieden wäre.

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Stimmt, es folgt \( a = 1 \) oder \( a = 0 \), ein Widerspruch.