Unitärer Raum, Norm eindeutig bestimmt

Question

Sei \( (V, \beta) \) ein unitärer Raum. Für \( v \in V \) sei \( \|v\|=\sqrt{\beta(v, v)} \) die Norm von \( v \). Zeigen Sie:

\( \beta(v, w)=\frac{1}{2}\left(\|v+w\|^{2}-\|v\|^{2}-\|w\|^{2}\right)+\frac{i}{2}\left(\|v+i w\|^{2}-\|v\|^{2}-\|w\|^{2}\right) \quad \text { für alle } v, w \in V \text {. } \)

D.h., \( \beta \) ist durch die Norm eindeutig bestimmt.

Answer 1

so wie es aussieht hörst du auch LAAG bei Herrn Geck in Stuttgart =)

Löse die Aufgabe am besten von rechts nach links und beginne damit, auf der rechten Seite alle
$$\|v\|^2$$ durch $$\beta(v,v)$$ zu ersetzen. (Das darfst du, weil $$\beta$$ positiv-definit ist)

Wenn du das gemacht hast, dann ziehe alle Linearkombinationen aus der Sesquilinearform heraus. Denke daran, dass du im 2ten Argument komplex konjugieren musst.

Ich hoffe das hilft dir, die Aufgabe anzugehen.

Viel Glück dabei!