Beweisen Sie, dass (linAbb(R[x], R[x], +, ^{o} ) ein unitärer Ring ist!

Question

Tag zusammen,

sitze an folgender Aufgabe schon länger und finde einfach nicht den richtigen Ansatz.
Zur Aufgabe:
Ich weiß, wie die Bedingungen für einen unitären Ring lauten, jedoch verstehe ich nicht ganz, wie ich die benötigten Eigenschaften jetzt zeigen soll.

Wäre über jede Hilfe dankbar!!

Answer 1

z.B.   Addition ist assoziativ:

Da musst du nur zeigen ( f+g)+h = f + (g+h)

Es muss also für alle p(x) aus IR[x] gelten

(( f+g)+h )(p(x)) = (f + (g+h))(p(x))

nach Def. von + ist

(( f+g)+h )(p(x)) = ( f+g)(p(x))  +h (p(x)) wieder nach Def. von +

=  (    f(p(x)+g(p(x)  )  +h (p(x))  wegen der Ass. in  IR[x]

=       f(p(x)+   ( g(p(x)  )  +h (p(x))  )   und jetzt wieder 2x die Def. rückwärts anwenden.

z.B. Distributiv, da musst du zeigen  f o ( g + h ) =    f o g +  f o h

also für alle p(x)   :   ( f o ( g + h )) (p(x)) =   ( f o g +  f o h) (p(x))

laso erst mal Def von o ; denn bei    ( f o ( g + h )) (p(x)) ist das ja die erste Operation

( f o ( g + h )) (p(x))       (nach Def.)

= f (  ( g + h ) (p(x))  )  dann def. von +

= f (  ( g(p(x)) + h  (p(x))  )  wegen Linearität von f

= f (g (p(x))  ) +  f (   h (p(x))  )  nach Def von o rückwärts

= (f og) (p(x))   +  (f o h) (p(x))   und def von + rückwärts

=    ( f o g +  f o h) (p(x)) 

etc.    1-Element ist wohl die identische Abb.  id   mit  id(p(x)) = p(x) f. alle p(x).