Kombinatorik - Runder Tisch

Question

Gegeben sei ein runder Tisch mit n (n>=5) Personen, deren Anordnung am Tisch zufällig ausgelost wurde.

(a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein bestimmtes Trio nicht nebeneinander sitzt (vorausgesetzt, dass alle drei am Tisch sitzen)?

(b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei Personen eines bestimmten Trios nebeneinander sitzen und die dritte Person gleichzeitig nicht neben den beiden sitzt?

Für (a) habe ich:

1 - (3!*(n-3)!)/(n-1)!

und bei (b) weiß ich leider nicht weiter.

Wäre dankbar für jede Hilfe.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Stochastik Kombinatorik Ansatz

Stichworte: stochastik,kombinatorik

Aufgabe:

Beim Poker sitzen N Spieler um einen runden Tisch, wobei wir davon ausgehen, dass
es keinen Kartendealer gibt, sondern die Spieler untereinander klären, wer die Karten verteilt.
Jeder Spieler hat somit rechts wie links eine Spieler sitzen, wobei die Anordnung der Spieler
zufällig ausgelost wurde. Wir gehen davon aus, dass mindestens fünf Spieler am Tisch sitzen, d.h. N ≥ 5.
a) Wie wahrscheinlich ist est dass die drei Spieler Pius Heinz, Doyle Brunson und Phil
Ivey nicht nebeneinander sitzen, vorausgesetzt, dass alle drei am Tisch sitzen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Pius Heinz und Doyle Brunson nebeneinander
sitzen und gleichzeitig Phil Ivey nicht neben den beiden sitzt?
c) Angenommen es sitzen 10 Spieler am Tisch. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten aus
a) und b) für diese Spieleranzahl explizit an.

Problem/Ansatz: also meine Überlegung war jetzt, dass es sich hierbei um eine Permutation ohne Wiederholung handelt.

Also bei a) hätt ich jetzt 5/(5-3)!

Und bei b) so ähnlich aber bin mir nicht so sicher

Ich bitte um Korrektur falls meine Ansätze falsch sind

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a) 1 - (3!*(n-3)!) / (n-1)!

b) (n - 4)·2!·(n - 3)!/(n - 1)!

Answer 1

Schau mal ob das so hinkommen kann. Ich habe gerade wenig Zeit und habe das einfach nur hingeschrieben ohne zu prüfen.

b) (n - 4)·3!·(n - 3)!/(n - 1)!

Übrigens hätte ich a) genau so gemacht wie du. Das sieht also richtig aus.

Man kann die Formeln wenn man Zeit hat ja mal für n = 5 und n = 6 prüfen.

Comments

Könntest du vielleicht noch erklären, wie du darauf gekommen bist?

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Nehmen wir mal n = 10 Personen

Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο

Weil die Personen im Kreis setzen können wir einen Ringtausch machen, der keine andere Sitzordnung ergibt.

Daher kann ich die ersten beiden des Trios hier ganz nach links setzen

⊗ ⊗ Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο

Die dritte Person des Trios kann jetzt nur noch auf n - 4 = 10 - 4 = 6 Plätzen Platz nehmen. Daher kommen die (n - 4) in der Rechnung.

⊗ ⊗ Ο ⊗ Ο Ο Ο Ο Ο Ο

Nun kann ich die Personen des Trios durcheinanderwürfeln was 3! Möglichkeiten gibt.

Dann kann ich noch die Restlichen Personen durcheinanderwürfeln was (n - 3)! Möglichkeiten ergibt.

Dieses sind die günstigen Sitzordnungen. Die muss man letztendlich durch alle Möglichen Sitzordnungen teilen um eine Wahrscheinlichkeit zu erhalten.

So komme ich auf meine Formel.

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Ok, vielen Dank erstmal! Nur eine kleine Frage hätte ich noch; wieso n-4 Plätze? Ich hatte da an (n-2) gedacht, da 2 Personen nebeneinander sitzen, (n-2) Plätze übrig bleiben

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Erstmal die die 2 Plätze gesperrt wo ich schon die 2 Leute des Trios platziert hatte. Und dann ja noch die 2 Plätze rechts und links daneben, weil die drei ja nicht zusammen sitzen sollen.

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Ah stimmt, vielen Dank!

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Wenn man die Personen des Trios nicht durcheinanderwürfeln könnte, weil vorausgesetzt wird das zwei bestimmte aus dem Trio nebeneinandersitzen und die eine Person nicht neben den zwei sitzen dürfte, würden es dann immernoch 3! Möglichkeiten sein oder wären es in dem Falle 2! Möglichkeiten?

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Das wären dann nur noch 2! Möglichkeiten.