Zeige: f ist injektiv ist äquivalent zu usw.

Question

Aufgabe:

Mengen und Abbildungen: b) Folgende Aussagen sind äquivalent: f ist injektiv und ...

Aufgabe 3 (Mengen und Abbildungen)
\( (10 \text { Punkte }) \)
Sei \( f: M \rightarrow N \) eine Abbildung. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
a) Für \( X, Y \subseteq N \) gilt \( f^{-1}(X \backslash Y)=f^{-1}(X) \backslash f^{-1}(Y) \)
b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
i) \( f \) ist injektiv.
ii) Für alle \( A, B \subseteq M \) gilt \( f(A \cap B)=f(A) \cap f(B) \)
iii) Für alle \( A \subseteq B \subseteq M \) gilt \( f(B \backslash A)=f(B) \backslash f(A) \)

Aufgabe 3 (Mengen und Abbildungen)

Sei \( f: M \rightarrow N \) eine Abbildung. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

a) Für \( X, Y \subseteq N \) gilt \( f^{-1}(X \backslash Y)=f^{-1}(X) \backslash f^{-1}(Y) \)

b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

i) \( f \) ist injektiv.
ii) Für alle \( A, B \subseteq M \) gilt \( f(A \cap B)=f(A) \cap f(B) \)
iii) Für alle \( A \subseteq B \subseteq M \) gilt \( f(B \backslash A)=f(B) \backslash f(A) \)

Problem/Ansatz:

Ich bin komplett überfragt wie ich die Teilaufgabe b zu lösen habe. Ich hoffe mir kann jemand auf die Sprünge helfen.

Answer 1

zu (i) ==> (ii) vielleicht so:

Sei f Injektiv.  Um (ii) zu zeigen, braucht man nur

f(A∩B) ⊇ f(A)∩f(B)    #   zu zeigen; denn die Inklusion mit

⊆ gilt immer (auch für nicht Injektive Abbildungen, siehe

etwa https://de.wikipedia.org/wiki/Bild_(Mathematik)#Eigenschaften ).

Um # zu zeigen :  Sei y ∈  f(A)∩f(B)

    ==>    y ∈  f(A)   ∧   y ∈  f(B)

 ==>   Es gibt x1 ∈ A mit f(x1)=y und
         es gibt x2 ∈ B mit f(x2)=y

==>   Also  f(x1)=f(x2) . Wegen der Injektivität
          von f folgt also   x1=x2=x

==>  x ∈ A    ∧   x ∈ B

==>  x ∈ A  ∩ B

==>  f(x) ∈ f( A  ∩ B  ) also   y ∈ f( A  ∩ B  )

Womit # bewiesen ist.