Kann ich die Aufgabe mit dem Schubfachprinzip lösen?

Question

Hallo :)

Ich habe eine Aufgabe, wobei ich mir unsicher bin, ob ich das

Schubfachprinzip anwenden muss.

Die Aufgabe lautet:

Ein verwirrter älterer Herr schreibt 87 Drohbriefe an 87 verschiedene Menschen,
von denen er sich schlecht behandelt fühlt. Außerdem bereitet er entsprechend viele
Aufkleber mit den Adressangaben vor. Durch seine Unachtsamkeit versiegelt er die
Briefe, bevor er sie adressiert hat. Leider kann er sich nicht mehr erinnern, welcher
Brief in welchem Umschlag gelandet ist. Er beschließt also die Adressaufkleber
willkürlich auf die Briefe zu verteilen. Wieviele Möglichkeiten gibt es, sodass kein
Brief an den ihm zugedachten Empfänger geschickt wird?

Mein Ansatz wäre:

- 87 Briefe

-87 Verschiedene Menschen

-87 verschiedene Aufkleber

Wir wollen die Aufkleber auf die Briefe verteilen, also Aufkleber (A) -> Briefe (B)

Und nach dem Schubfachprinzip ist zu berechnen |A|/|B| mit der Gaußklammer aufgerundet. Also 87/87 =1

Ist das richtig ? Oder muss ich es anders lösen ?

Answer 1

https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktfreie_Permutation

87!·∑ (k = 0 bis 87) ((-1)^k/k!) = 7.754005770·10^131

Comments

Danke für die Antwort, aber warum genau dieser Weg ? :)

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Hast du die Seite durchgelesen.

Die Möglichkeiten wie die Briefe beklebt werden können sind die Permutationen.

Das kein Brief mit der richtigen Adresse beklebt wird ist eine fixpunktfreie Permutation. Darum geht es doch genau in der Aufgabe wenn ich sie richtig verstanden habe.

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Angenommen wir haben die Briefe an Person 1 bis 4 vorliegen

1 2 3 4

Wir können sie jetzt auf 4! = 24 Arten bekleben

1 2 3 4
1 2 4 3
1 3 2 4
1 3 4 2
1 4 2 3
1 4 3 2
2 1 3 4
2 1 4 3
2 3 1 4
2 3 4 1
2 4 1 3
2 4 3 1
3 1 2 4
3 1 4 2
3 2 1 4
3 2 4 1
3 4 1 2
3 4 2 1
4 1 2 3
4 1 3 2
4 2 1 3
4 2 3 1
4 3 1 2
4 3 2 1

Zähle mal die fixpunktfreien Permutationen auf, zähle sie dann und berechne sie anschließend.

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Achse okay danke :) also in dem bespiel wäre es dann 4!* Summe ((-1)^k/k!) von k=0 bis 4 also als Ergebnis 9 ?

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Genau. Ich marker mal die 9 hier an

1 2 3 4
1 2 4 3
1 3 2 4
1 3 4 2
1 4 2 3
1 4 3 2
2 1 3 4
2 1 4 3 <-- fixpunktfrei
2 3 1 4
2 3 4 1 <-- fixpunktfrei
2 4 1 3 <-- fixpunktfrei
2 4 3 1
3 1 2 4
3 1 4 2 <-- fixpunktfrei
3 2 1 4
3 2 4 1
3 4 1 2 <-- fixpunktfrei
3 4 2 1 <-- fixpunktfrei
4 1 2 3 <-- fixpunktfrei
4 1 3 2
4 2 1 3
4 2 3 1
4 3 1 2 <-- fixpunktfrei
4 3 2 1 <-- fixpunktfrei

Kannst du das so erkennen warum diese fixpunktfrei sind?

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Und bei 87 darf man das auch nähern

87! * 1/e = 7.754005770·10^131

Du siehst da kommt näherungsweise das Gleiche heraus.

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Ich kann leider nicht erkennen, warum die Fixpunktfrei sind, könnten Sie mir das erklären, woran ich das erkennen kann :-) ?

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Weil keine der Zahlen auf ihrer richtigen Position steht.

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Ach genau stimmt, okay vielen Dank :-)