Wie beweist man diese Ungleichung (1+y)^k > 1+ky

Question

Aufgabe:

$$\text{Sei}\quad y\in\mathbb{R}\quad \text{mit}\quad y\neq0 \quad \text{und} \quad y\neq0 \\ \text{Beweisen Sie, dass für } \quad k\in\mathbb{N} \quad \text{mit} \quad k>1 \quad \text{gilt:} (1+y)^k>1+ky$$

Problem/Ansatz:

Ich hatte bisher 2 Ideen, mit denen ich dies Lösen könnte.

Vorher habe ich aber folgende Feststellung gemacht: 
$$y>-1\Longleftrightarrow1+y>0\Longleftrightarrow(1+y)^k>0$$

Zuerst habe ich mit Fallunterscheidungen gearbeitet:

Fall 1: (1+ky) ≤ 0

In diesem Fall ist die Aussage wahr, denn (1+y)^k  ist immer größer als 0 (s.o.).

Fall 2: (1+ky) > 0 $$(1+ky) > 0 \Longleftrightarrow (k*y) > -1$$

$$\cdot \cdot \cdot$$

was ich jetzt weiterhin damit anfangen soll, weiß ich nicht wirklich...

Meie zweiter Ansatz war, dass (1+ky) immer ein Teil von (1+y)^k ist. Z.B. für k = 2:

$$(1+y)^2 = y^2+2y+1$$

oder für k=3:

$$(1+y)^3 = y^3+3y^2+3y+1$$

Man sieht immer das (ky+1) am Ende der Funktion.

Dann müsste ich nur noch beweisen, dass der Teil davor (also a₁x^k + a₂x^k-1 + ... + a_n-2x²) größer als 0 ist. Wie ich das anstelle, weiß ich aber auch nicht.

Ist einer der Ansätze richtig, oder muss ich den Beweis anders anfangen/durchführen? Ich habe das Gefühl, mir fehlt nur ein stupser in die richtige Richtung und der Beweis steht...

MfG, Doug.

Comments

Kennst du das Beweisverfahren der vollständigen Induktion?

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@racine_carrée ja, könnte ich das damit machen? Ist mir bisher nicht in den Sinn gekommen...

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https://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Ungleichung#Beweis_%C3%BCber_vollst%C3%A4ndige_Induktion

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Danke, das hilft sehr :). Versuche das aber erst einmal, ohne abzuschreiben. :p

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Der Induktionsbeweis ist echt basic!

Answer 1

Leider lässt sich Dein Satz nicht beweisen, weil er falsch ist: y=-5, k=3.

Aufgabe:

Sei y∈ℝ mit y≠0 und y≠0. Beweisen Sie, dass für k∈ℕ mit k>1 gilt: (1+y)^k > 1+ky

Satz: y∈ℝ mit y≠0 und y≥-1. Beweisen Sie, dass für k∈ℕ mit k>1 gilt: (1+y)^k > 1+ky

Bew:(1+y)^k = \( \sum\limits_{i=0}^{k}{  \begin{pmatrix} k\\i \end{pmatrix} } \) *yⁱ    (binom. Lehrsatz)

1. Fall: y>0

(1+y)k = \( \sum\limits_{i=0}^{k}{  \begin{pmatrix} k\\i \end{pmatrix} } \) *yⁱ =y⁰+ky + \( \sum\limits_{i=2}^{k}{  \begin{pmatrix} k\\i \end{pmatrix} } \) *yⁱ  >1+ky, da ∑ >0 (y>0, k≥2)

2. Fall: -1<y<0

y=-1+δ, 0<δ<1

Behauptung: (1+(-1+δ))^k>1+k(-1+δ), also δ^k>1-k +kδ

Ich beschränke mich auf den Induktionsschritt:

z.z.: δ^k+1>1-(k+1) +(k+1)δ

Bew: δ^k+1=δ^k*δ>(1-k +kδ)δ>(1-k +kδ)δ+(-1+δ)δ=(1+(k+1)+(k+1)δ)δ

                                                               <1

 

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mein fehler, eins von den y=/=0 oben sollte eigentlich y>-1 sein... :p

Answer 2

Du kannst auch den binomischen Lehrsatz verwenden, um so nach unten zum Ausdruck 1+k*y abzuschätzen.

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Wie das\(\)?