Aloha :)
Der Weg \(\vec r\) führt entlang der Parabel \(y=x^2\) vom Punkt \((0;0)\) zum Punkt \((2;4)\). Daher ist:$$\vec r(t)=\binom{t}{t^2}\quad;\quad t\in[0;2]$$Im gesuchten Wegintegral setzen wir daher \(x=t\) und \(y=t^2\) ein:
$$I=\int\limits_C\vec v\,d\vec r=\int\limits_0^2\vec v(t)\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_0^2\binom{t^2-t\cdot t^2-t^2}{t+t\cdot t^2-(t^2)^2}\cdot\binom{1}{2t}\,dt$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^2\binom{-t^3}{t+t^3-t^4}\cdot\binom{1}{2t}\,dt=\int\limits_0^2\left(-t^3+2t^2+2t^4-2t^5\right)\,dt$$$$\phantom{I}=\left[-\frac{t^4}{4}+\frac{2t^3}{3}+\frac{2t^5}{5}-\frac{2t^6}{6}\right]_0^2=-\frac{16}{4}+\frac{16}{3}+\frac{64}{5}-\frac{64}{3}=-\frac{36}{5}=-7,2$$
