Beweisen Sie eine Ordnungsrelation

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass
R≤ = {(a, b) | ∃n ∈ N : a + n = b}
eine Ordnungsrelation auf Z und dass
R≡ = {(a, b) | ∃n ∈ Z : a + 5 · n = b}
eine Aquivalenzrelation auf Z ist!
Geben sie zusätzlich je drei verschiedene Elemente der Aquivalenzklasse ¨
[0] beziehungsweise [3] von R≡ an!

Problem/Ansatz:

ich verstehe diese Übung nicht ganz .. kann jemand mir bitte die Lösung geben

Answer 1

Wie ist Ordnungsrelation definiert? (Wichtig in der Aufgabenstellung: 0∈ℕ)

3 Eigenschaften muss die Relation haben: reflexiv, antisym., transitiv.

Diese 3 muss man beweisen:

1. (a,a) muss stimmen. Stimmt auch denn a+0=a, es ex also eine nat. Zahl n, nämlich 0.

2. Wenn (a,b) und (b,a), dann (a,a). Stimmt das? (a,b) heißt, es ex ein n mit b=a+n

                                                                              (b,a) heißt, es ex ein m mit a=b+m

Addiere die beiden Gleichungen: a+b=a+b+n+m, also n+m=0, da n,m≥0, folgt m=m=0, also a=b

3. (a,b) und (b,c), dann soll ((a,c) gelten.

Stimmt denn: (a,b) heißt b=a+n, (b,c) heißt c=b+m.

Setze b in die 2. Gleichung ein: c=(a+n) + m= a+(n+m). Also ex die gesuchte nat. Zahl, nämlich n+m

Schreibe das ganze ab mit a≤b statt abstrakt (a,b), dann wird es klar. Also a≤a für (a,a) usw.

Äqivalenzrelation: genauso mit reflexiv, sym., transitiv. Also alles gleich bis auf: Beweise:  (a,b)⇒(b,a)

Bew: (a,b) gelte, d.h. a + 5 · n = b, also a=b-5n= b+5(-n), d.h. es ex ein Element aus ℤ, nämlich -n.

Answer 2

Zur Äquivalenzrelkation:

R≡ = {(a, b) | ∃n ∈ Z : a + 5 · n = b}

Reflexiv: Gibt es eine ganze Zahl, für die a + 5 · n = a gilt?

Symmetrisch: Falls es eine ganze Zahl n gibt mit a + 5 · n = b ,

gibt es dann auch eine (möglicherweise andere) ganze Zahl m mit b + 5 · m = a?

Transitiv: Falls es eine ganze Zahl n gibt mit a + 5 · n = b , und falls es auch eine ganze Zahl m gibt mit
 b + 5 · m = c ,

gibt es dann auch eine ganze Zahl q mit  a + 5 · q = c?