Wie beweise ich, dass die Minkowski-Menge offen ist?

Question

Aufgabe:

Wir haben gegeben, dass die Menge U aus R^n offen ist und die Menge A aus R^n beliebig ist.

U+A= {x+y: x element von U, y element von A}

Nun sollen wir zeigen, dass U+A offen ist

Problem/Ansatz:

Wir sind schon so weit, dass wir wissen, dass es ein ε>0 für alle x gibt, aber kommen nicht weiter damit, zu zeigen, dass es ein

ε>0 für x+y gibt. Kann da jemand helfen?

Answer 1

Ist U = ∅ oder A = ∅, dann ist U+A = ∅ offen.

Seien U ≠ ∅ und A ≠ ∅.

Sei x ∈ U+A. Ein solches x existiert, weil U+A ≠ ∅ ist.

Seien u ∈ U und a ∈ A mit x = u+a. Solche u und a existieren laut Definition von U+A.

Sei ε > 0, so dass y ∈ U für alle y ∈ ℝⁿ mit |u - y| < ε ist. Ein solches ε existiert weil U offen ist.

Zeige, dass x₀ ∈ U+A für alle x₀ ∈ ℝⁿ mit |x - x₀| < ε ist.