Minkowski-ungleichung anwenden

Question

Zeige: für beliebige postive Zahlen \(x,y,z>0\) gilt :

$$(\frac{x+y+z}{3})^3\leq \frac{x^3+y^3+z^3}{3}$$

wobei Gleichheit nur auftritt wen x=y=z

Ich denke ich muss die Minkowski-Ungleichung anwenden, aber das gelingt mir nicht, kann mir jemand weiterhelfen.

Comments

Nimm lieber die Jensensche Ungleichung für konvexe Funktionen.

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und was soll ich als funktion nehmen?

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Probier mal den hoffentlich auch in Deinem Gehirn eingebauten Pattern-Matching-Algorithmus aus: $$f(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+\lambda_3 x_3)\le\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+\lambda_3f(x_3).$$

Answer 1

Hi,
nehme \( f(x) = x^3 \) und \( \lambda_i = \frac{1}{3} \) und wende die Jensensche Ungleichung an.