Ist das Polyeder beschränkt?

Question

Ich habe ein nichtleeres Polyeder P ⊂ R^n _≥0 .

Ich soll mit Hilfe des Satzes von Minkowski bzw. mit:
"Ein beschränktes Polyeder ist glecih der konvexen Hülle seiner Ecken"

zeigen, dass das Polyeder eine Ecke besitzt.

Die Kompenten jedes Elements, das in P liegen könnte sind größer als 0. Aber nach oben sind diese nicht beschränkt.. Es gibt also keine Kugel, die ich mir um ein solches Polyeder legen kann, oder?

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NIcht, dass ich dir hier helfen kann. Aber aus Interesse: Meintest du nicht:

"Ein beschränktes Polyeder ist gleich der konvexen Hülle seiner Ecken" 

Wenn dieser Satz wahr mit dem "s" ist, und das Polyeder keine Ecken hat, wäre es doch einfach die "leere Menge" ? 

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Jo habe mich vertippt.

" Wenn dieser Satz wahr mit dem "s" ist, und das Polyeder keine Ecken hat, wäre es doch einfach die "leere Menge" ? "

Ja, aber nur,wenn das Polyeder auch beschränkt ist. Und das ist ja genau mein Problem. Ich kann leider nicht zeigen(und weiß auch nicht) ob dies hier der Fall ist.

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Deine Voraussetzung ist doch: Das Polyeder P ist nicht leer.

Somit gibt es im 3-dim Fall einen Punkt Q(xq,yq,zq) Element P.

Entweder ist Q eine Ecke von P oder nicht.

Wenn Q eine Ecke ist, bist du fertig.

Wenn Q keine Ecke ist, gibt es rund um Q Punkte von P. Da könnte man eine Ebene E durch Q legen, mit der Gleichung

E :   xq+yq+zq =x+y+z.

E zusammen mit den Koordinatenebenen schliesst ein beschränktes Polyeder ein.

E n P ist auch mindestens ein beschränktes Polyeder. Nimm nun (falls es mehrere gibt) dasjenige Schnittpolyeder, das Q enthält.     (Achtung: Dieser Teil ist intuitiv! Du müsstest entsprechende Sätze haben!)

Gemäss Satz von Mikowski sollte es zumindest eine Ecke haben, die nicht auf E liegt und auch Ecke von P ist.

Anmerkung:

Falls alle Koordinaten von Q Null sind, wären dann noch ein Spezialfall zu betrachten.

Ausserdem hast du Dimension n.

Answer 1

Ja,  danke.  Habe die Lösung bereits.  Man nimmt sich in der Tat einen Halbraum mit den man den polyeder begrenzt.  Dann zeigt man durch Verschiebung dieses Halbraum dass einer der eckpunkte des begrenzten Polyeders gleich dem eckpunkt des anfangspolyeder ist.

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Danke für die Info (EDIT: Hab das jetzt zur Antwort gemacht). Mir ist noch eingefallen, dass ich in meinem Kommentar noch den Fall vergessen habe, dass Q auf einer Seitenfläche liegt und die genau mit E übereinstimmt. In dem Fall müsste man die Ebene etwas neigen; ist ja auch kein Problem im 3-Dim.