wie Dreiecksungleichung anwenden?

Question

Aufgabe:

Zeigt, dass für alle reellen Zahlen x,y Folgendes gilt:

|x + y| + |x - y| ≥ |x| + |y|

Problem/Ansatz:

Ich denke ich muss hier die Dreiecksungleichung verwenden und eine nahrhafte Null hinzufügen, ich weiß aber nicht so ganz wie ich das machen soll. Habe schon verschiedenes probiert. Klappt es vielleicht hiermit?

|x + y + (-y)| ≤ |x - y| + |y|, wenn das so ist, wie kann ich das dann auf die Aufgabe anwenden?

Danke!

Answer 1

Aloha :)

Hier brauchst du einfach nur die "normale" Dreiecksungleichung 2-mal anzuwenden:

$$2|x|=|2x|=|(x+y)+(x-y)|\le|x+y|+|x-y|$$$$2|y|=|2y|=|(y+x)+(y-x)|\le|y+x|+|y-x|=|x+y|+|x-y|$$

Addition der beiden Ungleichungen liefert:$$2(|x|+|y|)\le2(|x+y|+|x-y|)\quad\big|\div2$$$$|x|+|y|\le|x+y|+|x-y|$$

Comments

Hallo, danke für die Antwort, woher hast du den Ansatz, dass |2x| = |(x + y) + (x + y)| gelten kann? Also wie bist du darauf gekommen?

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Nunja, wenn ich die rechte Seite ausrechne, erhalte ich:$$|(x+y)+(x-y)|=|x+y+x-y|=|2x|$$Du hast in der zweiten runden Klammer ein \(+\) statt ein \(-\) stehen.

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Okay danke, also kann man anstatt |x + y| + |x - y| einfach |x + y + x - y| schreiben? Kann man das auch beweisen?

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Du solltest die Antworten nicht einfach nur überfliegen. Was du geschrieben hast, ist Unsinn. Nimm dir mal die Zeit, meine Antwort Schritt für Schritt nachzuvollziehen.

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Habs verstanden, danke nochmals!

Answer 2

Ich würde einfach 2 Fälle unterscheiden:

1. Fall |x| ≥ |y| . Dann

| x+y+x-y| ≤|x+y| + |x-y|

<=> |2x| ≤|x+y| + |x-y|

Wegen |x| ≥ |y| ist |2x| ≥|x| + |y|, also

|x| + |y| ≤|2x| ≤|x+y| + |x-y|.

2. Fall : |x| < |y| . Dann
| x+y-x+y| ≤|x+y| + |-x+y|

Aber   |-x+y| =  |x-y|
<=> |2y| ≤|x+y| + |x-y|
Wegen |x| < |y| ist |2y| > |x| + |y|, also
|x| + |y| <|2y| ≤|x+y| + |x-y|.

Comments

Hallo, Dankeschön für deine Antwort. Wie bist du darauf gekommen, dass |x +y +x - y| = |x| + |y| ist?

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Nein, es ist |x +y +x - y| = |2x|

und andererseits (Dreiecksungl.)

|x +y +x - y| ≤ |x+y| + |x-y|