Dreiecksungleichung bei Normaxiomen

Question

die Aufgabe ist die Folgende:

Untersuchen Sie, ob die folgenden Abbildungen ∥ ∥:R³ →R, den Normeigenschaften (N1) bis (N3) genügen:

a) ∥x∥ := (3*x₁² + 5*x₂² + x₃²)^0,5

b) ∥x∥ := |x₁*x₂*x₃|^1/3

c) ∥x∥ := max {x₁, x₂, x₃},

d) ∥x∥:=|x₁ +x₂|+|x₁ −x₂|+|x₃|.

Ich kenne die drei Kriterien der Axiome.

Leider weiß ich nicht, wie ich die Dreiecksgleichung nachweisen soll.

Bei der a) habe ich schon überprüft, und sie wird der Definitheit und der Homogenität gerecht.

Bei der b) wird das Kriterium der Definitheit verletzt, ebenso wie bei der c).

Bei der d) stimmt zwar das Kriterium der Definitheit, aber die Homogenität wird verletzt.

Aber bei der Dreiecksgleichung komme ich nicht weiter.

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand den Lösungsweg erklären könnte. Das Ergebnis alleine bringt mir nichts.

Vielen Dank & bleibt gesund

Melanika

Answer 1

Hallo,

bei a) kannst Du den Nachweis der Dreiecksungleichung auf die Dreiecksungleichung für die gewöhnliche Euklidische Norm zurückführen. Falls Ihr die nicht besprochen habt, kannst Du das im WEB nachschlagen.

Sei also \(\|x\|_e:=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\) die gewöhnliche euklidische Norm, die die DUngleichung erfüllt. Dann gilt folgender Zusammenhang: \(\|x\|=\|Lx\|_e\), wobei

$$Lx=(\sqrt{3}x_1,\sqrt{5}x_2,x_3)$$

Weil L eine lineare Abbildung ist - insbesondere gilt \(L(x+y)=Lx+Ly\) - kannst Du jetzt die Frage nach der Dreiecksungleichung für a) auf die DUngleichung für die euklidische Norm zurückführen.

Bei b) und c) hast Du recht. (Bei c) gehe ich davon aus, dass dort wirklich das Max der \(x_i\) steht und nicht das Max der Begträge)

Bei d) sehe ich nicht wieso die Homogenität nicht gegeben ist.

Für die Dreiecksungleichung:

$$\|x+y\|=(x_1+y_1+x_2+y_2|+|x_1+y_1-(x_2+y_2)|+|x_3+y_3|$$

$$\leq |x_1+x_2|+|y_1+y_2|+|x_1-x_2|+y_1-y_2|+|x_3|+|y_3|= \ldots$$

Gruß

Comments

vielen Dank für die schnelle Antwort.

Zu d): ja, den Fehler mit der Homogenität habe ich auch bemerkt und mir ist der Nachweis gelungen. Tatsächlich bin ich bei der d) auch auf die von dir genannte Ungleichung gekommen.

Nur bei a) stehe ich etwas auf dem Schlauch. Meine Ungleichung lautet:

((3*x₁²+y₁)+(5*x₂²+y₂)+(x₃²+y₃))^0,5 ≤  (3*x₁²+5*x₂²*x₃²)^0,5+ (y₁+y₂+y₃)^0,5

In der Vorlesung haben wir die gewöhnliche euklidische Norm besprochen, aber ∥Lx∥_e wurde in diesem Zusammenhang nicht erläutert. Kannst du mir nochmal den Zusammenhang zur euklidischen Norm erklären, was das mit meiner Ungleichung zu tun hat und wie ich ∥Lx∥_e bestimme?

Nochmals vielen Dank bis jetzt. Schönen Abend.

Beste Grüße

Melanika

---

Hallo,

Du hast bei Deiner Ungleichung um Kommentar 2 Fehler:

- Du verwendest keine Klammern für die Faktoren 3 und 5

- Du verwendest für y nicht die Faktoren 3 und 5.

Ich schreibe es nochmal kleinteilig auf, zur Vereinfachung für \(\mathbb{R}^2\). Wir wissen (Dreieicksungleichung für Euklidische Norm):

$$||u+v||_e=\sqrt{(u_1+v_1)^2+(u_2+v_2)^2} $$

$$\leq \sqrt{u_1^2+u_2^2} +\sqrt{v_1^2+v_2^2} = ||u||_e+||v||_e$$

Wenn wir jetzt \(x,y \in \mathbb{R}^2\) gegeben haben, dann wenden wir dies auf

(Ich sehe beim Nachlesen, dass ich 5 und 3 vertauscht habe.)

$$u_1=\sqrt{5}x_1,u_2=\sqrt{3}x_2,v_1\sqrt{5}y_1,v_2=\sqrt{3}y_2$$

an. Dann erhält man:

$$||u+v||_e=\sqrt{5(x_1+y_1)^2+3(x_2+y_2)^2}$$

$$\leq \sqrt{5x_1^2+3x_2^2}+\sqrt{5y_1^2+3y_2^2} $$

---

Hallo nochmal,

vielen Dank! Auch für deine Korrektur und Erklärung.

Du hast mir wirklich geholfen.!

Schönes Wochenende & bleibt gesund

Melanika