Umgekehrte Dreiecksungleichung beweisen

Question

ich eine Frage zu folgender Aufgabe(Umgekehrte Dreiecksungleichung):

Beweisen Sie, dass für alle x, y ∈ ℝⁿ gilt:

ΙΙx+yΙΙ + ΙΙx-yΙΙ ≥ ΙΙxΙΙ + ΙΙyΙΙ

Hinweis: Nutzen die Gleichheit 2x = (x + y) + (x − y) sowie 2y = (y + x) + (y − x)

Ich weiß nicht wirklich was ich machen soll. Kann mir bitte einer den Lösungsweg erklären?

Answer 1

Aloha :)

Der Hinweis in der Aufgabenstellung ist gar nicht mal schlecht. Wir gehen von der bekannten Dreiecksungleichung$$|x+y|\le|x|+|y|$$aus, schreiben darin aber \(x\) und \(y\) mit dem Hinweis etwas anders:$$\phantom{=}|x|+|y|$$$$=\overbrace{\left|\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}\right|}^{=|x|}+\overbrace{\left|\frac{y+x}{2}+\frac{y-x}{2}\right|}^{=|y|}$$$$\le\left|\frac{x+y}{2}\right|+\left|\frac{x-y}{2}\right|+\left|\frac{y+x}{2}\right|+\left|\frac{y-x}{2}\right|$$$$=\frac{1}{2}|x+y|+\frac{1}{2}|x-y|+\frac{1}{2}|x+y|+\frac{1}{2}|x-y|$$$$=|x+y|+|x-y|$$

Comments

Vielen lieben Dank :) <3

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Hallo @Tschakabumba,

Sie haben \(\phantom{=}|x|+|y|\) durch den Hinweis ersetzt wenn ich das richtig erkannt habe, wodurch der Ausdruck \(=\overbrace{\left|\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}\right|}^{=|x|}+\overbrace{\left|\frac{y+x}{2}+\frac{y-x}{2}\right|}^{=|y|}\) entstanden ist.

Aber wo kommt das plötzlich her? :
\(\le\left|\frac{x+y}{2}\right|+\left|\frac{x-y}{2}\right|+\left|\frac{y+x}{2}\right|+\left|\frac{y-x}{2}\right|\)

Vielleicht könnten Sie das nochmal kurz erläutern. Ich glaube bei mir liegt das Problem an der Darstellung auf der Seite. Kann die Schritte nicht nachvollziehen.

Vielen Dank im Voraus schonmal...

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Da habe ich die "Standard"-Dreiecksungleichung angewendet:

$$\left|\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}\right|\le\left|\frac{x+y}{2}\right|+\left|\frac{x-y}{2}\right|$$

und für den zweiten Betrag analog:

$$\left|\frac{x+y}{2}+\frac{y-x}{2}\right|\le\left|\frac{x+y}{2}\right|+\left|\frac{y-x}{2}\right|$$

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Achso, jetzt erkenne ich wie es aufgebaut ist...
Im nächsten Schritt haben Sie

\(=\frac{1}{2}|x+y|+\frac{1}{2}|x-y|+\frac{1}{2}|x+y|+\frac{1}{2}|x-y|\)

Wieso ist dann plätzlich der hintere Ausdruck umgedreht? Also nicht mehr \(y-x\) sondern \(x-y\)?

Sie haben doch lediglich den Ausdruck in der Zeile vorher umgeschrieben oder?

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Man kann innerhalb der Betragstriche das Vorziechen wechseln, ohne dass sich der Betrag ändert:$$|y-x|=|-(x-y)|=|x-y|$$

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Vielen Dank, fühle mich gerade etwas schlecht, weil ich das hätte sehen können :P
Dennoch vielen Dank, Sie haben mir sehr geholfen.

Answer 2

Nehme den Tipp und schätze $$ \| x \| + \| y \| =  \bigg \| \frac{ (x+y) + (x-y) }{ 2 } \bigg \| + \bigg \| \frac{ (y+x) + (y-x) }{ 2 } \bigg \| $$ mit der Dreiecksungleichung ab.