Zeigen : Die Relation Rm ⊆ Z × Z mit ∀x, y ∈ Z. x Rm y ⇔df m|(x − y) ist eine Äquivalenzrelation.

Question

Aufgabe:

Sei m ∈ N. Zeigen : Die Relation Rm ⊆ Z × Z mit
∀x, y ∈ Z. x Rm y ⇔df m|(x − y)
ist eine Äquivalenzrelation. Wie viele Äquivalenzklassen werden durch Rm festgelegt?

Hinweis: Die Teilbarkeitsrelation ist hier erweitert auf die ganzen Zahlen. Seien
m, n ∈ Z, dann gilt:
n|m =df ∃k ∈ Z. n · k = m
Problem/Ansatz:

Wie kann man das zeigen?

Comments

Hallo

für Äquivalenz musst du eben die 3 Bedingungen zeigen.

für die Anzahl überleg dir mal für m=2,3,4

Gruß lul

Answer 1

Sei m∈ℕ.  Zeige die drei Eigenschaften von R_m (Ich lass das m mal weg.):

reflexiv:  Für alle x∈ℤ ist zu zeigen  xRx . Das stimmt, weil

xRx <=>  m|(x-x) <=>  m|0 <=> ∃k ∈ Z   m · k = 0    und so

ein k gibt es in der Tat, nämlich k=0.

symmetrisch:  Es seinen x,y ∈ℤ mit xRy.

==> m | (x-y)

==>  ∃k ∈ Z   m · k = x-y

==>       m · (-k) = y-x    ==>    m | (y-x)   ==>   yRx.

transitiv: wieder mit der Def. und dann hast du ja sowas wie

xRy  und yRz

==>  ∃k1,k2 ∈ Z   m · k1 = y-x  und m*k2= z-y

 ==>     m · (k1+k2) = z-x   und k1+k2 ist ja auch aus ℤ.

Zwei ganze Zahlen sind in einer Klasse, wenn ihre Differenz

durch m teilbar ist.  Probier das mal mit kleinen Werten von m aus.

Comments

kann man hier einfach sagen m ist gleich irgendwas zbsp 1 und dan nimmt man für alle m=1 oderwas??

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Nein. Es steht ja oben drüber :   Sei m ∈ N.

Also musst du etwas machen, was für jedes  m ∈ N richtig ist.

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also es muss für jede natürliche Zahl gelten?

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Genau so ist es.